Нужна ли котлу вода

Прекрыв воду вы автоматом оставите котел без подпитки. Вода и из закрытой системы постепенно может уходить. Давление упадет, котел остановится.
Вдаваться в подробности устройства котла.... сами при желании посмотрите. И куда может вода сбрасываться

Непонятно, каким образом вы собираетесь перекрыть воду и в каком месте.

Если у вас двухконрурный котёл и вы хотите перекрыть горячие воду то это можно . А вот перекрыть трубы в отоплении нельзя . Котел перегреется и уйдёт в аварию.

воду желательно периодически менять, ибо она портится и забивает соты

Вода нужна для периодической подпитки котла, поддержания давления.
Кран на этот период можно перекрывать. И на входе в котел то же.

Система отопления - замкнутая. Постоянный приток воды не нужен. Только подливать по мере испарения. Но это немного и не часто, раз в сезон примерно.

Подачу воды на квартиру можно перекрыть, для котла она не нужна.

Мой папа, каждый год заливает в трубы немного воды.
Так что думаю да, котлу нужна вода.

Смотря какой у Вас расширительный бачок. Если он герметический, то Вы не видите визуально ситуацию с наличием воды. Ежели расширительный бачок самодельный и через него можно контролировать количество воды в системе, то можно перекрыть воду и доливать через бачок. У меня котел Сибирь из https://lit-kom.ru и я сразу установил себе самодельный бак расширительный и вода к котлу от водопровода перекрыта.