Поможет ли гидропароизоляция решить проблему в квартире?...

а силиконовым герметиком щели не залить?

Влажность в квартире вообще от стены не зависит.. Верней зависит, но косвенно и в виде следствия, а не первопричины...
Стена холодная, воздух в помещении теплы и влажный (от жизнедеятельности).. физику учил?.. Теплый влажный воздух попадая на холодную поверхность к чему приводит?.. К образованию конденсата... Вот стена и мокнет и разводится плесень.. Чтобы это снизить или исключить, нужно утеплить стену и оградить выход влаги через эту стену.. Если не утеплять, то стена таки будет холодная, от неё будет холодная пароизоляция, а весь конденсат будет образовываться на ней.. Короче хрен редьки не слаще...

Не можешь утеплить снаружи, утепляй изнутри.. утеплитель паронепроницаемый должен быть... Это избавит тебя от холодной стены и конденсата, но сама стена станет больше промерзать...

пено полеуританом утепли изнутри и сверху гипсокартоном закрой

Если стена промерзает, то конденсат и, соответственно, повышенная влажность должна быть зимой, а не летом..

Метр до соседней стены можно замечательно засыпать керамзитом, только подпорные стенки с двух сторон сделать)))
А стену изнутри можно очистить до бетона и заштукатурить известью с песком. Тогда вода из стены будет легче уходить и плесени не будет.
А греть комнату надо лучше, однако...

Летом влага в квартире появляется только при наличии этих проблем - вентиляция не работает и протечки крыши и внешних стыков стен, плохой гидроизоляции фундамента. Тем более сушить белье летом в квартире - это нонсенс

Промежутки между корпусами домов обязательно должны быть закрыты от сквозняка. Поэтому у вас промерзание.

Нарастить изнутри стены

Зимой нормально, летом промерзает и как в сауне? Что то как то не тавой ??

1) обеспечить нормальный воздухообмен (вентиляцию) в квартире. С приточной и вытяжной вентиляцией. Приточные клапана и чистка вытяжных вентканалов.
2) Сложновыполнимо при центральном отоплении, но важно сделать обогрев именно этих проблемных стен. Кинуть к ним дополнительные батареи, плинтусные обогреватели и т. п. Это позволит сместить точку росы дальше к внешней стороне стены.
3) высушивать воздух в помещении. от открытого мешка с солью или рисом, до специальных мобильных портативных осушителей.
4) Срубить все декоративные слои и штукатурку. Выполнить стену по новой с применением специальных противогрибковых грунтовок, присадок в раствор, или хотя бы всё обработать "Белизной" и раствором фурацилина.
5) подумать на тему других возможных источников влаги. На верхних этажах протекающая мягкая кровля, парапет, разрушенная целостность (не заполненные швы стены. На нижних - нарушенная гидроизоляция между фундаментом, подвалом и самим зданием.
Пункты не в порядке важности или срочности. Просто надо постараться решить как можно больше пунктов. Но декоративную часть решаем разумеется только после того, как будете уверены, что влага и грибок больше не появятся.

Не ленись.