через какое время назначается день суда после передачи прокуратурой дела в суд есть ли сроки

По-разному:

1. Федеральный, по первой инстанции: В соответствии с ч. 3 ст. 227 УПК РФ решение о НАЗНАЧЕНИИ судебного заседания принимается в срок не позднее 30 суток со дня поступления уголовного дела в суд. В случае, если в суд поступает уголовное дело в отношении обвиняемого, содержащегося под стражей, судья принимает решение в срок не позднее 14 суток со дня поступления уголовного дела в суд.
В силу ч. 1 ст. 233 УПК РФ РАССМОТРЕНИЕ уголовного дела в судебном заседании должно быть начато НЕ позднее 14 суток со дня вынесения судьей (вышеуказанного) постановления о назначении судебного заседания, а по уголовным делам, рассматриваемым судом с участием присяжных заседателей, - не позднее 30 суток.

2. Мировой судья: В соответствии с ч. 2 ст. 321 УПК РФ судебное разбирательство должно быть начато не ранее 3 и НЕ позднее 14 суток со дня поступления в суд заявления или уголовного дела.

в зависимости от категории дела

зависит от загруженности суда... бывает что и год ждут рассмотрения..

Статья 227. Полномочия судьи по поступившему в суд уголовному делу
1. По поступившему уголовному делу судья принимает одно из следующих решений:
1) о направлении уголовного дела по подсудности;
2) о назначении предварительного слушания;
3) о назначении судебного заседания.
2. Решение судьи оформляется постановлением, в котором указываются:
1) дата и место вынесения постановления;
2) наименование суда, фамилия и инициалы судьи, вынесшего постановление;
3) основания принятого решения.
3. Решение принимается в срок не позднее 30 суток со дня поступления уголовного дела в суд. В случае, если в суд поступает уголовное дело в отношении обвиняемого, содержащегося под стражей, судья принимает решение в срок не позднее 14 суток со дня поступления уголовного дела в суд. По просьбе стороны суд вправе предоставить ей возможность для дополнительного ознакомления с материалами уголовного дела.