Могу ли я подать заявление в полицию на своего близкого родственника, за постоянные оскорбления и угрозы,

Можешь только смотри что б зарегистрировали... и конечно в милицию.... а участковый потом должен придти и поговорить... если не успокоится... опять... вообще на первое время его должны просто предупредить.... Ну а если конечно хочешь знать что и как действовать... то естественно в юридическую консультацию..

нужно

на диктофоне? а он там представлялся? был в курсе записи? не проканает. ну может вызовет участковый для беседы, не более того. а он потом еще сильнее начнет оскарблять. ну а угрожать перестанет

конечно можете- другой вопрос- является ли это преступлением? Вы от ситуации то чего хотите?
В целом в полиции не любят брать заявления от родственников- мирятся они часто) напишите жалобу через оф. сайт обл. прокуратуры. Тогда хоть не смогут не принять...

заявление на имя начальника

Подать можете, но диктофонная запись не может служить для возбуждения УО. Хотите - решайте этот вопрос в порядке гражданского судопроизводства, но доказательная база для обвинения должна быть полной.

можете, но учтите если дело из той же самой полиции уйдет выше (прокуратуру) то это будет не остановить, и в случае суда учитывая все факторы и опасность угроз родственнику может грозить реальный срок

Бесполезно. Нам угрожает наш родственник на протяжении всей моей и маминой жизни. Терпите... Остерегайтесь...

Можете - оскорбление ст. 130 УК РФ! Реального срока не будет, скорее всего штраф! Можно обратиться к участковому или в Дежурную часть Отдела полиции!

За угрозы можешь. Иди в ПОЛИЦИЮ. Иначе, вдруг твой родственник с участковым сговорились. На счёт наказания прочитай кодекс.

Можете, бесполезно.