Можно ли вылечить эти ногти?

Чтобы вросшие ногти было легче обрезать, их нужно предварительно мазью уродерм обработать. Она хорошо размягчает и ногтевую пластину, и кожу вокруг. И ни в коем случае не срезайте уголки ногтей, иначе они еще сильнее вростать будут.

Возможно, ваша проблема с ногтями имеет внутренние причины и сигнализирует о каких-то неполадках во внутренних органах. Хорошо бы найти грамотного врача, и начать с терапевта, хирурга. За 1 заход к доктору диагноз не поставить

Это называется вросший ноготь. Свояк делал операцию.

Если это действительно вросший ноготь, то, не убрав причину, выздороветь не получится. (Нужен осмотр или холя бы фото). В таком случае необходима операция. При классической операции по удалению ногтя не затрагивается зона роста ногтевой пластины и в этом случае рецидив болезни может возникнуть в 50% случаев.
Современным методом лечения является лазерная коррекция зоны роста ногтевой пластины. Рецидив болезни в данном случае может состоять не более 5%. Данную услугу можно получить в клинике Медел.
Подробнее: http://www.medel.ru/directions/vrosshiy-nogot/
Сама операция проводиться под проводниковой анестезией, инъекция анестетика делается в боковые части пальца. Эта самая неприятная часть операции и длится она 15-20 секунд, далее удаляется либо часть, либо весь ноготь, обрабатывается ложе ногтя (при современной методике, зона роста ногтя корректируется лазером для того чтобы ноготь не рос широко), накладывается повязка. Необходимости в госпитализации нет. Сразу же после данной процедуры вы можете заниматься своими повседневными делами.

Знаю, так себе совет, но всё таки попробуй обратиться к дерматологу при первой возможности.