Вопрос связан отчасти с медициной, подскажите советом, как быть.

Если Вы недовольны санитарно-гигиеническими условиями в детском дошкольном учреждении, Вы можете подать об этом жалобу в Роспотребнадзор (бывшая СЭС) . Подать её можно в электронном виде на сайте Роспотребнадзора (наберите Роспотребнадзор и название Вашей территории) . Реагируют они очень быстро и порядок наведут, не сомневайтесь, это их хлеб.
На мамашу орать незачем, это только вызовет непродуктивный конфликт, у неё такие же права водить или не водить ребёнка в ДДУ, как и у Вас. "Вправлять мозги заведующей" тоже не советую, бесполезно, так как она действует на основании заключения врача и не может юридически необоснованно не допускать ребёнка в ДДУ. С врачом тоже конфликтовать Вы не можете, он вправе давать такие заключения, какие считает нужным и не отчитываться перед публикой.
Действуйте правильно (см. начало поста) - и всё получится.

А в саду что, врача или медсестры нет? Это её прямая обязанность, вызвать маму и отправить ребенка домой. Или вызвать скорую помощь и отправить ребенка в больницу. У нас медсестра в саду стоит с фонариком на входе и светит всем в горло, щупает лбы и вообще строгости со здоровьем в саду и не только со стороны медперсонала.

в отдел соц образования. главврачу города.

Скорую вызови, а мамаша сама пусть разбирается дальше.

Закати скандал заведущей садика или куда вы отводите ребенка
Это не допустимо, если ваш ребенок заразится, то можно подать в полицию заявление
но я надеюсь до такого не дойдет, просто не бойтесь наорать на эту горе-мамашу, и вправить мозги заведущей

соберитесь несколько родителей и обратитесь к заведующей, с другой стороны они не имеют права не принять ребенка со справкой о том, что он здоров, кашель может сохранятся какое-то время.