Если я живу в Москве, а прописана в 1000 км от Москвы, то могу я пользоваться районной поликлиникой в Москве?

можете, если прикрепитесь к ПК.
прикрепление по месту фактического проживания, НЕ прописки.

для этого нужны: паспорт, действующий полис ОМС, заявление о прикреплении, документ подтверждающий ФАКТ проживания (ОБЯЗАТЕЛЬНО! )
Таким документом м. б. не обязательно временная регистрация, но и договор аренды жилья, заявление от человека, у которого живете + копия его паспорта со штампом о прописке по адресу, который обслуживается данной ПК, итд.
Предоставите такой документ - отказать в прикреплении НЕ ИМЕЮТ ПРАВА. НЕ представите - скорее всего откажут на основании перегруженности ПК "своими" пациентами

основание: Приказ МЗ РФ от 26.04.12 г. N 406н г. Москва
"Об утверждении Порядка выбора гражданином медицинской организации при оказании ему медицинской помощи в рамках программы государственных гарантий бесплатного оказания гражданам медицинской помощи"

кроме того, документ, подтверждающий факт проживания, имеют право требовать и по миграционному законодательству - если проживаете НЕ по месту прописки свыше 90 дней, ОБЯЗАНЫ получить временную регистрацию
Администрация особо переполненных ПК особо любит этот приказ ФМС России от 20.09.07 N 208
"Об утверждении Административного регламента предоставления ФМС государственной услуги по регистрационному учету граждан РФ по месту пребывания и по месту жительства в пределах РФ"

имейте ввиду.

Да запросто !!!С полисом да и регистрация у вас должна быть по месту проживания

Конечно. За деньги.

конечно, 2 варианта
1)можно просто прийти с полисом и вам сделают разовую карту
2) а можно прикрепиться временно на год к поликлиннике (потом кажды год продлять) , для этого нужно будет заполнить заявление, выдадут в поликлиннике