Домашние задания: Экономика
Помогите пожалуйста решить задачу нужно очень срочно
3sin2x+cos2x=6cos²x
Для решения уравнения 3sin(2x) + cos(2x) = 6cos²(x) нам потребуется использовать тригонометрические свойства и уравнения.
1. Используя тригонометрический идентичность cos(2x) = 1 - 2sin²(x), мы заменяем выражение cos(2x) в уравнении:
3sin(2x) + 1 - 2sin²(x) = 6cos²(x)
2. Упрощаем уравнение, раскрывая скобки и объединяя подобные члены:
3sin(2x) + 1 - 2sin²(x) = 6cos²(x)
3sin(2x) + 1 - 2sin²(x) = 6 - 6cos²(x)
3. Переносим все члены в одну сторону уравнения:
3sin(2x) + 1 - 2sin²(x) - 6 + 6cos²(x) = 0
3sin(2x) - 2sin²(x) + 6cos²(x) + 1 - 6 = 0
3sin(2x) - 2sin²(x) + 6cos²(x) - 5 = 0
4. Приводим подобные члены:
-2sin²(x) + 3sin(2x) + 6cos²(x) - 5 = 0
5. Используем тригонометрическую формулу:
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
Подставляем в уравнение:
-2sin²(x) + 6sin(x)cos(x) + 6cos²(x) - 5 = 0
6. Упрощаем уравнение:
6cos²(x) - 2sin²(x) + 6sin(x)cos(x) - 5 = 0
7. Используем тригонометрическую идентичность sin²(x) + cos²(x) = 1:
6(1 - cos²(x)) - 2sin²(x) + 6sin(x)cos(x) - 5 = 0
6 - 6cos²(x) - 2sin²(x) + 6sin(x)cos(x) - 5 = 0
1 - 6cos²(x) - 2sin²(x) + 6sin(x)cos(x) = 0
8. Упрощаем уравнение:
1 - 6cos²(x) - 2sin²(x) + 6sin(x)cos(x) = 0
-6cos²(x) - 2sin²(x) + 6sin(x)cos(x) = -1
9. Используем выражение sin²(x) = 1 - cos²(x):
-6cos²(x) - 2(1 - cos²(x)) + 6sin(x)cos(x) = -1
-6cos²(x) - 2 + 2cos²(x) + 6sin(x)cos(x) = -1
-4cos²(x) + 6sin(x)cos(x) - 3 = 0
10. Перепишем выражение 6sin(x)cos(x) как 3sin(2x):
-4cos²(x) + 3sin(2x) - 3 = 0
11. Вынесем общий множитель за скобки:
cos²(x) - (3sin(2x) - 3)/4 = 0
12. Для решения этого уравнения потребуемся предварительные преобразования:
cos²(x) - 3sin(2x)/4 + 3/4 = 0
cos²(x) - 12sin(x)cos(x)/4 + 3/4 = 0
cos²(x) - 3sin(x)cos(x) + 3/4 = 0
13. Заметим, что выражение cos²(x) - 3sin(x)cos(x) может быть переписано как (cos(x))^2 - (sin(x))^2:
(cos(x))^2 - (sin(x))^2 + 3/4= 0
(cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x)) + 3/4 = 0
(cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x)) + 3/4 = 0
14. Получили квадратное уравнение:
(cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x)) = -3/4
15. Рассмотрим два случая:
a) (cos(x) - sin(x)) = 0 и (cos(x) + sin(x)) = -3/4
Решим первое уравнение: cos(x) - sin(x) = 0
Приведем cos(x) к виду sin(x): cos(x) = sin(x)
Используем идентичность sin²(x) + cos²(x) = 1: 1 - sin²(x) = sin²(x)
Решив последнее уравнение, получаем sin(x) = ±1/2
Рассмотрим два случая:
i) sin(x) = 1/2
cos(x) = sin(x) = 1/2
Ответ: x = π/6 + 2πn, где n - целое число.
ii) sin(x) = -1/2
cos(x) = sin(x) = -1/2
Ответ: x = 5π/6 + 2πn, где n - целое число.
b) (cos(x) - sin(x)) = -3/4 и (cos(x) + sin(x)) = 0
Решим второе уравнение: cos(x) + sin(x) = 0
Приведем cos(x) к виду -sin(x): cos(x) = -sin(x)
Используем идентичность sin²(x) + cos²(x) = 1: sin²(x) + sin²(x) = 1
Решив последнее уравнение, получаем sin(x) = ±√(1/2)
Рассмотрим два случая:
i) sin(x) = √(1/2) = √2/2
cos(x) = -sin(x) = -√2/2
Ответ: x = 7π/4 + 2πn, где n - целое число.
ii) sin(x) = -√(1/2) = -√2/2
cos(x) = -sin(x) = √2/2
Ответ: x = 3π/4 + 2πn, где n - целое число.
Таким образом, уравнение 3sin(2x) + cos(2x) = 6cos²(x) имеет следующие решения:
1) x = π/6 + 2πn, где n - целое число.
2) x = 5π/6 + 2πn, где n - целое число.
3) x = 7π/4 + 2πn, где n - целое число.
4) x = 3π/4 + 2πn, где n - целое число.
1. Используя тригонометрический идентичность cos(2x) = 1 - 2sin²(x), мы заменяем выражение cos(2x) в уравнении:
3sin(2x) + 1 - 2sin²(x) = 6cos²(x)
2. Упрощаем уравнение, раскрывая скобки и объединяя подобные члены:
3sin(2x) + 1 - 2sin²(x) = 6cos²(x)
3sin(2x) + 1 - 2sin²(x) = 6 - 6cos²(x)
3. Переносим все члены в одну сторону уравнения:
3sin(2x) + 1 - 2sin²(x) - 6 + 6cos²(x) = 0
3sin(2x) - 2sin²(x) + 6cos²(x) + 1 - 6 = 0
3sin(2x) - 2sin²(x) + 6cos²(x) - 5 = 0
4. Приводим подобные члены:
-2sin²(x) + 3sin(2x) + 6cos²(x) - 5 = 0
5. Используем тригонометрическую формулу:
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
Подставляем в уравнение:
-2sin²(x) + 6sin(x)cos(x) + 6cos²(x) - 5 = 0
6. Упрощаем уравнение:
6cos²(x) - 2sin²(x) + 6sin(x)cos(x) - 5 = 0
7. Используем тригонометрическую идентичность sin²(x) + cos²(x) = 1:
6(1 - cos²(x)) - 2sin²(x) + 6sin(x)cos(x) - 5 = 0
6 - 6cos²(x) - 2sin²(x) + 6sin(x)cos(x) - 5 = 0
1 - 6cos²(x) - 2sin²(x) + 6sin(x)cos(x) = 0
8. Упрощаем уравнение:
1 - 6cos²(x) - 2sin²(x) + 6sin(x)cos(x) = 0
-6cos²(x) - 2sin²(x) + 6sin(x)cos(x) = -1
9. Используем выражение sin²(x) = 1 - cos²(x):
-6cos²(x) - 2(1 - cos²(x)) + 6sin(x)cos(x) = -1
-6cos²(x) - 2 + 2cos²(x) + 6sin(x)cos(x) = -1
-4cos²(x) + 6sin(x)cos(x) - 3 = 0
10. Перепишем выражение 6sin(x)cos(x) как 3sin(2x):
-4cos²(x) + 3sin(2x) - 3 = 0
11. Вынесем общий множитель за скобки:
cos²(x) - (3sin(2x) - 3)/4 = 0
12. Для решения этого уравнения потребуемся предварительные преобразования:
cos²(x) - 3sin(2x)/4 + 3/4 = 0
cos²(x) - 12sin(x)cos(x)/4 + 3/4 = 0
cos²(x) - 3sin(x)cos(x) + 3/4 = 0
13. Заметим, что выражение cos²(x) - 3sin(x)cos(x) может быть переписано как (cos(x))^2 - (sin(x))^2:
(cos(x))^2 - (sin(x))^2 + 3/4= 0
(cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x)) + 3/4 = 0
(cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x)) + 3/4 = 0
14. Получили квадратное уравнение:
(cos(x) - sin(x))(cos(x) + sin(x)) = -3/4
15. Рассмотрим два случая:
a) (cos(x) - sin(x)) = 0 и (cos(x) + sin(x)) = -3/4
Решим первое уравнение: cos(x) - sin(x) = 0
Приведем cos(x) к виду sin(x): cos(x) = sin(x)
Используем идентичность sin²(x) + cos²(x) = 1: 1 - sin²(x) = sin²(x)
Решив последнее уравнение, получаем sin(x) = ±1/2
Рассмотрим два случая:
i) sin(x) = 1/2
cos(x) = sin(x) = 1/2
Ответ: x = π/6 + 2πn, где n - целое число.
ii) sin(x) = -1/2
cos(x) = sin(x) = -1/2
Ответ: x = 5π/6 + 2πn, где n - целое число.
b) (cos(x) - sin(x)) = -3/4 и (cos(x) + sin(x)) = 0
Решим второе уравнение: cos(x) + sin(x) = 0
Приведем cos(x) к виду -sin(x): cos(x) = -sin(x)
Используем идентичность sin²(x) + cos²(x) = 1: sin²(x) + sin²(x) = 1
Решив последнее уравнение, получаем sin(x) = ±√(1/2)
Рассмотрим два случая:
i) sin(x) = √(1/2) = √2/2
cos(x) = -sin(x) = -√2/2
Ответ: x = 7π/4 + 2πn, где n - целое число.
ii) sin(x) = -√(1/2) = -√2/2
cos(x) = -sin(x) = √2/2
Ответ: x = 3π/4 + 2πn, где n - целое число.
Таким образом, уравнение 3sin(2x) + cos(2x) = 6cos²(x) имеет следующие решения:
1) x = π/6 + 2πn, где n - целое число.
2) x = 5π/6 + 2πn, где n - целое число.
3) x = 7π/4 + 2πn, где n - целое число.
4) x = 3π/4 + 2πn, где n - целое число.
4
Анна Мальцева
77 861
Похожие вопросы
- Помогите пожалуйста решить задачи (((
- Помоги, пожалуйста, решить задачу!
- Помогите пожалуйста решить задачу по экономике!!!
- Помогите пожалуйста решить задачу по экономике!
- Здравствуйте помогите пожалуйста с задачами
- Помогите пожалуйста с задачей по экономике!!
- Решите задачу по экономике !!!очень срочно, а то отчислят .
- Помогите решить задачу по экономике
- Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей по Экономике
- Помогите пожалуйста с тестом, очень срочно!!!
3sin(2x) + cos(2x) = 6cos^2(x)
Используем тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x):
3 * 2sin(x)cos(x) + cos(2x) = 6cos^2(x)
Раскроем скобки:
6sin(x)cos(x) + cos^2(x) - sin^2(x) = 6cos^2(x)
Используем тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:
6sin(x)cos(x) + cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) = 6cos^2(x)
Simplify the equation:
6sin(x)cos(x) + cos^2(x) - 1 + cos^2(x) = 6cos^2(x)
Выразим все члены с cos^2(x) на одной стороне:
6sin(x)cos(x) = 7cos^2(x) - 1
7cos^2(x) - 6sin(x)cos(x) - 1 = 0
Теперь можно использовать факторизацию, квадратное уравнение или другие методы для решения этого уравнения.
3sin²x + cos²x = 6cos²x
Заменим sin²x на 1 - cos²x:
3(1 - cos²x) + cos²x = 6cos²x
Раскроем скобки:
3 - 3cos²x + cos²x = 6cos²x
Теперь объединим подобные слагаемые:
3 - 2cos²x = 6cos²x
Перенесем все слагаемые на одну сторону:
8cos²x = 3
Разделим обе части уравнения на 8:
cos²x = 3/8
Возьмем квадратный корень от обеих частей:
cosx = ±√(3/8)
Теперь найдем значения x, используя обратную функцию косинуса:
x = arccos(±√(3/8))
Обратите внимание, что ± означает, что у нас есть два возможных значения для x. Значения x будут зависеть от диапазона, в котором мы решаем уравнение.
1) Заменим cos²x с помощью тождества: cos²x = 1 - sin²x
2) Получим новое уравнение с помощью замены:
3sin2x + cos2x = 6(1 - sin²x)
3sin2x + cos2x = 6 - 6sin²x
3sin2x + cos2x + 6sin²x = 6
3sin2x + 6sin²x + cos2x = 6
3) Объединим подобные слагаемые:
9sin²x + 3sin2x + cos2x = 6
Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно sinx. Решим его:
9sin²x + 3sin2x + cos2x - 6 = 0
4) Заменим sin2x с помощью формулы двойного угла: sin2x = 2sinxcosx
9sin²x + 3(2sinxcosx) + cos2x - 6 = 0
9sin²x + 6sinxcosx + cos2x - 6 = 0
9(1 - cos²x) + 6sinxcosx + cos2x - 6 = 0
9 - 9cos²x + 6sinxcosx + cos2x - 6 = 0
3 - 9cos²x + 6sinxcosx + cos2x = 0
6) Запишем cos2x через тождество cos²x - sin²x = 1 - 2sin²x:
3 - 9cos²x + 6sinxcosx + (1 - 2sin²x) = 0
4 - 9cos²x + 6sinxcosx - 2sin²x = 0
Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cosx и sinx. Решим его:
7) Так как у нас есть две переменные, мы можем использовать подстановку: cosx = t, sinx = sqrt(1 - t²)
4 - 9t² + 6tsqrt(1 - t²) - 2(1 - t²) = 0
4 - 9t² + 6tsqrt(1 - t²) - 2 + 2t² = 0
6 + 2t² - 7t² + 6tsqrt(1 - t²) = 0
t² + 6tsqrt(1 - t²) - 6 = 0
9) Разложим квадратный корень на два множителя:
(t - 3)(t + 2sqrt(1 - t²)) = 0
Теперь у нас есть два уравнения:
t - 3 = 0 => t = 3
t + 2sqrt(1 - t²) = 0
10) Решим второе уравнение:
t + 2sqrt(1 - t²) = 0
2sqrt(1 - t²) = -t
4(1 - t²) = t²
4 - 4t² = t²
5t² = 4
t² = 4/5
t = ±sqrt(4/5)
Таким образом, получаем два значения для cosx и sinx:
t = 3 => cosx = 3, sinx = sqrt(1 - 3²) = sqrt(-8) (ответ мнимый)
Итак, решение уравнения: cosx = 3 и sinx = sqrt(-8) (ответ мнимый), либо cosx = sqrt(4/5) и sinx = sqrt(1/5).