Какие проблемы могут возникнуть при регистрации несовершеннолетнего ребенка.

Нет, не потребуется. Прописывает ни орган опеки и попечительства, а собственник. Тем более прописка (ныне - регистрация по месту жительства) не влечёт факт обязательного вселения и проживания.
Согласие отца на прописку не требуется. Требуется только согласие собственника квартиры.
Вообще, заявление о прописке носит уведомительный характер. Никто, в том числе УФМС, не может отказать в регистрации по месту жительства. Это практика Конституционного Суда или Верховного Суда, точно не помню. Если вдруг заинтересует, то могу поискать. Но пока Вам это не надо.

Семейный кодекс РФ
Статья 65
3. Место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей.
При отсутствии соглашения спор между родителями разрешается судом исходя из интересов детей и с учетом мнения детей. При этом суд учитывает привязанность ребенка к каждому из родителей, братьям и сестрам, возраст ребенка, нравственные и иные личные качества родителей, отношения, существующие между каждым из родителей и ребенком, возможность создания ребенку условий для воспитания и развития (род деятельности, режим работы родителей, материальное и семейное положение родителей и другое) .

Статья 65 СК Вам проблем также создать не должна.

Ещё момент: а Вы не хотите обратиться в суд с иском о лишении бывшего мужа родительских прав? Всё-таки основания к тому есть: ребёнком не интересуется, не содержит его, воспитанием не занимается. Я думаю, что у Вас это получится сделать. Если заинтересовал, то пишите.

раз после развода ребенок оставлен с вами, то и прописывается он с вами. Согласие отца не требуется.

Ребенок должен быть зарегистрирован по месту регистрации того родителя, с которым он оставлен проживать, согласно решению суда. При этом не требуется согласия как отца ребенка, так и лиц, проживающих в данной квартире. А такого отца вам лучше лишить родительских прав, чтобы потом он не смог предъявить ребенку иск о маериальном обеспечении его нетрудоспособности. Оснований у вас для этого достаточно.

я так сына прописывала. копию св-ва о разводе предоставила и все))

понадобится согласие органов опеки и попечительства