Как подготовить почву в июне? Позно, понимаю, однако сейчас на участке полно травы. Никто до этого почву не обрабатывал

http://www.zagorod.spb.ru/articles/2370/
Здесь выберите Ваш случай. Сложно без региона и почв Вам подсказать.

наймите, чтобы вам вспахали и посадите картофель.

А какой смысл сейчас копать и делать грядки? Я, правда, не знаю, из какого вы региона, но даже у нас, на Урале, рекомендуется все посадки закончить к концу мая-началу июня. Если хотите свой участок привести в более-менее приличный вид, купите газонокосилку, траву регулярно выкашивайте, а весной следующего года, пока травы ещё нет, перекопайте участок и посадите культурные растения.

Пока сорняки не дали семена пропашите ...

не знаю, как в Вашем регионе, а у нас продается рассадой все, если хватит сил подготовить участок - скосить траву и вскопать, то успеете урожай собрать не раз.... если рассады нет, то уж зеленью, кабачками, огурцами и пр. себя обеспечите точно..., если не хватит сил для обработки участка, тогда можно траву скосить и для кабачков, тыкв подготовить отдельные лунки, хоть что - то да соберете )...

Да ничего особенного! У нас на Смоленщине нынче всё очень плохо всходит, или вообще не всходит. Так мы как раз сейчас пересеваем морковь, петрушку, кабачки, лук, салат, укроп и т. д. Есть смысл траву выдергать, землю перекопать, удалить корни и сеять! К осени всё вырастет (при хорошнем поливе)!

лучше сейчас перекопать, посеять овес или горчицу, осенью опять перекопать. Весной можно будет сажать культуры. Сейчас если сможете удалить все корни, то можно посеять зелень: лук, укроп, петрушку