Что делать,если председатель ЖСК хочет сложить с себя полномочия,а на его место никто не идёт?

Председатель ЖСК хочет сложить с себя полномочия?
Пока он не найдет замену практически это не возможно.
Обычно они либо съезжают с этих домов, либо уходят в мир иной.

Предлагаю перерегистрировать ЖСК в ТСЖ и нанять по договору с ТСЖ управдома или управляющую компанию. Кандидаты в управдомы или управляющие компании обычно охотно идут на это и даже берут на себя орг. вопросы и орг. расходы.

Принципиальная разница ЖСК от ТСЖ в том, что в ЖСК собственником дома является ЖСК, а в ТСЖ собственником дома являются члены ТСЖ.
99,99% современных ЖСК утратили свою первоначальную сущность и являются ТСЖ, но с не переоформленными документами. Соответствующую статью закона "О вводе ЖК РФ" к сожалению отменили. Но в самом ЖК РФ:
Статья 129. Право собственности на жилое помещение в многоквартирном доме члена жилищного кооператива
1. Член жилищного кооператива приобретает право собственности на жилое помещение в многоквартирном доме в случае выплаты паевого взноса полностью.
2. На отношения собственности в многоквартирном доме в жилищном кооперативе при условии полностью выплаченного паевого взноса хотя бы одним членом жилищного кооператива распространяется действие главы 6 настоящего Кодекса.

Что означает, как только появилось два собственника ЖСК и физическое лицо, то они могут создать ТСЖ. А как только ЖСК лишилось собственности, после выплаты пая последним собственником, то оно подлежит ликвидации.

ну конечно, дураков нет туда идти...

Могут передать управляющей компании.

Заставить его работать против его желания Вы не можете. Можно сменить форму управления и выбрать управляющую или обслуживающую компанию