Можно ли иметь два постоянных места регистрации?

Два "пост. места регистрации" иметь нельзя.
Если у граждан есть права проживания и пользования в двух и более жилых помещениях, то они регятся по месту факт. (преимуществ. ) проживания.
Никакой "доли по умолчанию" нет у вас (и у др) в неприватизированной, а значит муниципальной квартире. Все пост. там проживающие по дог. соцнайма- наниматели и имеют равные права и обязанности. в том числе и право на приватизацию (если свое однократное право ранее еще не использовали) .
Что за друга квартира приватизированная. в кот. собираетесь вселиться и зарегиться? пишите приватизированная. Кто там собственник (сособственники) ? если вы не явл. сособственником. то вселение ваше туда только с согласия собственника.
если вы имеете долю в собственности в жилом помещении, то "потерять" вы ее не можете в связи с изменением места жительства и регистраций в ином жилом помещении.
Отчуждение доли в собственности только на основании закона и доброй воле собственника.
Если вы сейчас проживаете и зарегены в муницип квартире и ранее свое право на приватиз. не использовали, то освободив занимаемую эту муниципальную. снявшись с регучета. вы создадите возможность пр. нанимателям перезаключить дог. соцнайма на оставшихся. и приватизировать на них, и сами останетесь с нереализованным правом на приватизацию.

В неприватизированой квартире доли быть не может. Лучше не выписывайтесь там, иначе потеряете право проживания и право на приватизацию. Регистрироваться по месту проживания можно только в одном месте,

Нельзя. Выписаться можешь, доля, насколько я знаю, остаётся.

Зарегистрируешься в одной площади, автомотически снимешься с регистрации в другой

нельзя