Откуда брались русские фамилии? Кто их давал? По какому принципу?Когда стали употребляться и для чего?

В каких веках и по какому принципу давали фамилии, вам уже ответили.
Литвинов - от прозвища литвин, т. е. выходец из Великого княжества Литовского. По национальности не обязательно литовец, это мог быть и белорус, и еврей, и поляк. Зайцев - либо от прозвища, которое дали односельчане, либо от нецерковного (нехристианского) имени Заяц, которые бытовали наряду с церковными именами у крестьян до нач. 18 в.

от характера, от имени отца, от внешних данных
когда не знаю, а для чего - это чтоб определить человека. ну что то вроде дополнительной характеристики - уточнения

по роду занятий

Фамилии в русской именной формуле появились довольно поздно. Большинство из них произошло от отчеств (по крестильному или мирскому имени одного из предков) , прозвищ (по роду деятельности, месту происхождения или какой-то другой особенности предка) или других родовых имён. Первыми в русских землях приобрели фамилии граждане Великого Новгорода, вероятно, перенявшие этот обычай из Великого княжества Литовского. Затем в XIV—XV вв. приобрели фамилии московские удельные князья и бояре. До конца XVIII — середины XIX века большинство населения центральной России фамилий не имело [1]. Как правило, русские фамилии были одинарными и передавались только по мужской линии. В середине XIX в. , особенно после отмены крепостного права в 1861 г. , формируются фамилии у большинства крестьян. Процесс приобретения фамилий в основном завершился только к 30-м годам XX века.

Русские фамилии в основном образованы как отчества от церковных или нецерковных личных имён или прозвищ, например, Иван > Иванов сын > Иванов. Сюда же относятся фамилии, образованные от прозвищ, связанных с профессией: Гончаров, Мельников, Красильников.
Гораздо реже — от названий местности, например Белозерский от Белоозеро. Такой способ образования особенно характерен для княжеских фамилий, однако (в отличие от Западной Европы) не характерен для дворянских.
Фамилии духовенства образованы от названий приходов (например, Космодемьянский, Рождественский) либо искусственно созданы в семинарии (Афинский, Добровольский) .

Чьих голов, спрашиваю, будешь?