В чём прикол института для благородных девиц?

Чтобы занять должность Фрейлины в Царском Дворце...

Никакого прикола не было. Там учились девочки их дворянских семей. А гимназии были для мальчиков.

Потому что это первое учебное заведение для женщин. То есть либо учишься там, либо - нигде. Так себе выбор.
Про положительные последствия "ума" не знаю, но обучение там было весьма специфическое.
Закон про то, что жениться могут только образованные - какая-то хрень. Так что не было его.

Никаких приколов -- суровая жЫссь...

В девятнацатом веке на 1000 детей, рожденных живыми, приходилось 40-80 материнских смертей. Это если не считать ситуаций, когда умирали и мать, и ребенок. То есть беременность заканчивалась смертью матери сильно более чем в 6% случаев. С учетом того, что контрацепции в те времена не было и замужние женшины в течение жизни были беременны десяток раз, а то и больше, было полно семей (в том числе состоятельных), в которых мать рано умерла. Для примера вспомните "Дубровского" -- Троекуров и Дубровский оба вдовцы...

Теперь представьте себе, что Вы вдовый генерал. Причем не придворный, а реальный, войсковой. Сегодня Вы командуете дивизией, расквартированной, скажем, в Смоленске, а завтра Вам приказ -- идти со своей дивизией завоевывать Кавказ или еще какой Туркестан для батюшки-царя. Что в такой ситуации делать с детьми? Тащить их с собой в кампанию -- не вариант. Один вариант -- если у Вас или у покойной супруги есть братья-сестры или другие близкие родственники, уговорить их взять детей на воспитание (и при необходимости простимулировать их материально). Другой вариант -- купить или снять какую-то приличную хатку в крупном городе и нанять домомучительницу, чтобы она и хозяйство вела, и за детьми приглядывала. Более другой вариант -- рассовать детей по школам-пансионам. На практике использовались все эти варианты...

Образование, тогда женского образования было не много. Гимназии только в 19 веке появились
http://pedagogic.ru/pedenc/item/f00/s00/e0000850/index.shtml#:~:text=Женское образование в России. Началом,городах (см. Институты благородных девиц)