как и чем доехать из Харькова в Курск после 21.00 и за сколько?

После 21 часа (даже после 20 по Киеву) нет рейсов даже на Белгород получастных автобусов и маршруток с ж-д вокз за углом от Пошты-Укр
Вместе с тем в 20ч был рейс на Воронеж (т. е. в Белгороде будете в час ночи а потом оттуда эл-кой или автобусом рано утром)

А вообще, лучше ехать поездом
Есть группа поездов около 22 часов из Харькова на М-ву. В Курске будете до Рассвета- очень рано утром.
Зачем Вам именно автобусом?

Старайтесь поточнее писать ситуацию. Тут на сайте есть несколько толковых знатоков которые бы могли подсказать. Но Вы сначала честно опишите что, где как, почему
Кстати, КПП на автодороге (Гоптьевка-Нехотеевка) имеет гораздо более жесткий досмотр, чем на поезде

После 21:00 в Курск автобусом вряд ли получится. После 19:55 рейсов нет.

068Симферополь ПассМосква Курская 21:0303:39
668Евпатория-КурортМосква Курская 21:0303:39
074Кривой Рог-ГлавныйМосква Курская 23:1506:40
070Бердянск Москва Курская 23:15 06:40

068О Симферополь — Москва
21:03 Харьков-Пасс. 03:39 Курск
4 ч 36 мин, ежедневно

074Д Кривой Рог — Москва
23:15 Харьков-Пасс. 06:40 Курск
5 ч 25 мин, по нечётным, кроме 31.01, 29.02

011Д Луганск — Москва
01:01 Харьков-Пасс. 07:54 Курск
4 ч 53 мин, ежедневно с 23 января

на все цена одна.
купе 1 426 р.
плацкарт 826 р.

а 668 можно было не указывать. похоже это прицепка к 068. а 74 прицепка к 70.