Где отдохнуть на горном алтае дикарем

в лесу

Бесхозные и доступные для остановок места можно найти по следам от кострищ и, к сожалению, по мусору.

Например: площадка на левом берегу Катуни (после Дубровки переезд через Айский мост и поворот к «Бирюзовой Катуни»);
поляна на правом берегу Катуни (не доезжая до Манжерока съезд к «Лазурному»);
район острова Патмос (село Чемал);
берег Катуни за Чемалом;
место впадения Большого Яломана в реку Катунь (у Яломанского городища);
недостроенная Акташская ГЭС на реке Чуя (799 км Чуйской трассы);
смотровая площадка у Ачикского ретранслятора (только на внедорожнике);
берега Чуи вдоль Чуйского тракта от Чуй-Оозы до Кош-Агача (можно выбрать много мест);
берега Большого Ильгуменя за перевалом Чике-Таман.

ткни пальцем в гугл-карту горного алтая

В Горно-Алтайске в лесу

Я ежегодно езжу в Горный Алтай дикарём уже несколько десятков лет. В большинстве случаев - это походы разной сложности. Вы не указали в вопросе, как далеко вы готовы ехать по Чуйскому тракту, готовы ли идти пешком до реально дикого места. Хотите ли побывать в интересных местах или хотите просто сидеть на одном месте.
В указанных выше в ответах местах, действительно, можно жить в палатке. Но они все находятся близко от оживлённой трассы. Дрова там уже сожгли до вас и готовить еду придётся на газовой горелке. Вам не удастся надолго отойти от палатки, поскольку местные жители не стесняются обшарить оставленные без присмотра вещи. В таких людных местах лучше всё-же ставить палатку на территории какой-нибудь базы. Плюсы: можно уйти надолго гулять и не бояться за свои вещи. Можно помыться в бане или в душе. Можно поесть в столовой, если неохота самим готовить на костре (например, в дождь). Можно воспользоваться предлагаемыми базами экскурсиями и посетить интересные места. А если место понравится, можно остаться там на несколько дней. Уточните вопрос и, возможно, я смогу посоветовать что-то конкретное.

прежде чем отдохнуть на горном алтае дикарем,
Изучите, какой там климат и прогноз погоды.