Сеть между ПК и Ноутбуком через wi-fi роутер

Если всё правильно настроить, то сеть будет. Операционным системам без разницы, как связаны компьютеры.
Только в некоторых роутерах при настройке Wi-Fi есть изоляция беспроводных клиентов. По умолчанию она обычно выключена. В таком режиме беспроводные клиенты не видят других беспроводных клиентов и компьютеров, подключенных к роутеру кабелями.
Надо посмотреть, какие IP-адреса получили сетевые карты компьютеров, потом Пуск - Выполнить - cmd и набрать ping 192. 168. 1. 3 (если у компьютера, с которого запускается эта команда адрес 192. 168. 1. 2, а у второго 192. 168. 1. 3). Если пакеты проходят, то роутер соединяет эти компьютеры.
Главное - правильно настроить сеть на компьютерах.

можно по шнурам, можно ноут по wi-fi подключить.

Так подключить нельзя, потому что "adsl шнур", насколько я понимаю, это телефонный кабель, а на фотографии изображён ни разу не модем, а обычный маршрутизатор. Если же имеется в виду кабель от модема, то можно так подключить, но зачем тогда wifi? Возьми обычный проводной роутер, вон как у меня асус rx3041

1. Картинка совершенно бредовая. Часть глюков уже указана в ответах.
2. Сеть между ПК и Ноутбуком через wi-fi роутер распадается на 2 момента:
-физическое подключение
-логическое подключение

Можно просто включить роутер ноутбук находит WIFI а компьютер соединить с ноутбуком сетевым шнуром и да здравствует домашняя сеть :D

я думаю что можно, только надо влезть в настройки роутера и использовать его как маршрутизатор ( в зависимости от модели роутера)

можно и не только через шнур ноутбук можно через вай-фай подлючить сам не пробовал но вроде это домашняя группа если это не так то извеняюсь=)
=))