Как обратиться к объектам другого класса

Можно конечно сделать кнопку публичной, но управлять классом извне напрямую считается плохим тоном, поэтому следует просто либо задавать эти данные через конструктор, либо через метод. А вообще, не вижу смысла обзывать кнопки в другом классе. Не надо превращать код в свалку.

"объекты другого класса"????

ты понимаешь что "класс" это тоже "объект"? да?

Вы, вероятно, оговорились. Не к объектам, а к содержимому контейнера. Фрейм - контейнер. Вы же сами в него положили кнопку, когда писали add. Элементы контейнера - перечислимые, то есть их можно хоть по очереди доставать, хоть по индексу, хоть по ключу.

Или передать объект одного класса в нужный метод другого в качестве параметра

Неужели в твоей программе нет ни одного обращения к объектам другого класса? Это приложение "Hello world"?
Элементарно. Через точку: sameObject.aMetod() или sameObject.aField
Вызываемый метод или поле должно быть public.

самый пряморукий способ - передать обьект другого класса в конструкторе
protected кнопка
public конструктор ( Кропка кропка) {
this. кнопка = кнопка;

}
и делаешь с этой переменной что хочешь
или то же самое в sette-ре.
для переименования кнопки пряморуким способом является обьявление listenera на какое то событие, в ходе которого этот листенер меняет текст на кнопке, листенеру следует передавать обьект кнопки как описано выше в конструкторе.

Менее пряморукие способы имхо:
- сделать обьект статическим
- сохранить обьект в статической хеш таблице objects < String, Object>
- сделать статический метод static changeButton ( твой, обьект, кнопка)
- вывернуть код на изнанку visitor-ом, то есть тогда "кнопка" будет знать про этот класс

По хорошему, тот фрейм который владеет кнопкой должен иметь паблик метод, типа setText_ButtonStart(String text)