Напишите на Java

Вот так суммируем ряд:

 public class Main {

    public static void main(String[] args) {

        final double EPS = 1e-4;

        double a = 1.0; // a₀

        double sum = a;

        long n = 1, nn = 3;

        while(a >= EPS) {

            n++; nn += 3;

            a /= (nn - 1) * (nn - 2);

            sum += a;

        }

        System.out.println(sum);

    }

} 

Нулевой член ряда (= 1) сразу закладываем в сумму.
Каждый последующий (n-й) член ряда получается умножением предыдущего на 3 и на n и делением на недостающие три множителя факториала (3n). Но поскольку множитель 3n входит и в числитель, и в знаменатель, мы только делим на (3n - 1) и (3n - 2).
И так - пока член ряда не станет меньше точности.
Строго говоря, точность для знакопостоянных рядов измеряется немного по-другому (требуется найти ограничение сверху для всей оставшейся суммы), но ряд убывает настолько быстро, что это не особо важно. Можно ограничить, например, таким выражением:

 ∞

∑ aₘ ≤ 1.665 ∙ aₙ

m=n+1 

(1.665 - это округлённая в большую сторону сумма ряда обратных квадратов, который ограничивает сверху наш ряд).
Тогда точность надо записать примерно так:

 final double EPS = 1e-4 / 1.665; // примерно 6e-5 

А в остальном - ничего не поменяется.