Почему таккой код не работает?

В усовиях замени

output[i] =
на
output +=
и всё заработает приёмная переменная у тебя состоит всего из одного пробела куда ты пихаешь эта тебе не массив

или сделай так вторую строку замени на
output=[];
а после цикла напиши такую строку
output=output.join("");
и всё заработает!
А вообще эта задача решается в одну строчку ниже пример
js ="JavaScript is Awesome!";
output=js.replace(/e/g,'3').replace(/o/g,'0').replace(/a/g,'4').replace(/i/g,'1');
console.log(output);//J4v4Scr1pt 1s Aw3s0m3!

или так
js ="JavaScript is Awesome!";
output=js;
['e3','o0','a4','i1'].forEach(a=>output=output.replace(RegExp(a[0],"g"),a[1]));
console.log(output);

⚤

Потому что инструкция output[i] = - полный бред. Если хотите в этом оутпуте получить j4v4scr1pt 1s 0w3s0m3, то хотя бы уж так нужно было делать
var js = 'javascript is owesome';
var output = '';
for (var i = 0; i < js.length; i++) {
if (js[i]=='e') {
output += '3';
}
else if (js[i]=='o') {
output += '0';
}
else if (js[i]=='a') {
output += '4';
}
else if (js[i]=='i') {
output +='1';
}
else {
output += js[i];
}
};
console.log(output);

В интернете написано
Содержимое строки в JavaScript нельзя изменять. Нельзя взять символ посередине и заменить его. Как только строка создана – она такая навсегда.
Можно лишь создать целиком новую строку и присвоить в переменную вместо старой.

может ты так хотел?

var js = 'abcdefg';
var output;
for (i=0;i<js.length;i++) {
if (js[i] == 'b') {output = 2} else
if (js[i] == 'd') {output = 4} else
if (js[i] == 'e') {output = 6} else
output = 0;
console.log(output);
}

// У нас есть строка..
let string = "JavaScript is Awesome!";
// ..которую необходимо разбить на массив элементов,
// то есть у каждой буквы теперь свой индекс.
let arr = string.split( '' );
// Смотрим и убеждаемся, что это массив.
console.log( arr ); // Array(22)
// Теперь проходимся по всему массиву функцией map,
// сверяя каждую букву и заменяя на нужную.
// Результатом будет новый массив.
let arr2 = arr.map(( el ) => {
if( el === 'e' ) el = '3';
if( el === 'o' ) el = '0';
if( el === 'a' ) el = '4';
if( el === 'i' ) el = '1';
return el;
});
// Для того, чтобы отобразить результат как строку,
// "склеиваем" наш массив.
console.log( arr2.join( '' )); // J4v4Scr1pt 1s Aw3s0m3!
// 1. Разбираем
// 2. Проводим действия
// 3. Собираем обратно

Код тут: https://jsfiddle.net/xhazt6my/
Код тут: https://jsfiddle.net/xhazt6my/
Код тут: https://jsfiddle.net/xhazt6my/

Твой случай:
Ты не конкатенируешь строки.

let string = "JavaScript is Awesome!",
output = '';

for( let i = 0; i < string.length; i++ ) {
if( string[ i ] === 'e' ) output += '3';
else if( string[ i ] === 'o' ) output += '0';
else if( string[ i ] === 'a' ) output += '4';
else if( string[ i ] === 'i' ) output += '1';
else output += string[ i ];
}

alert( output ); // J4v4Scr1pt 1s Aw3s0m3!

Код тут: https://jsfiddle.net/457dye0s/
Код тут: https://jsfiddle.net/457dye0s/
Код тут: https://jsfiddle.net/457dye0s/