Помогите решить лингвистическую задачу!

ФЕВРАЛЬ.
С одинаковых букв начинаются месяцы ИЮНЬ-ИЮЛЬ, МАЙ-МАРТ, АПРЕЛЬ-АВГУСТ.
С числами связаны названия месяцев СЕНТЯБРЬ (7), ОКТЯБРЬ (8), НОЯБРЬ (9), ДЕКАБРЬ (10).
ЯНВАРЬ назван в честь двуликого Януса, бога Солнца.
Итак, ответ на Ваш вопрос - ФЕВРАЛЬ.
По старому календарю это был последний месяц, завершающий год. Назывался ПРЕБРАЛЬ - год прибирается, заканчивается. Со временем "п" перешло в "ф", "б" - в "в", а первая "р" вообще отпала.
Есть еще одно объяснение этого названия. Слово заимствовано из старославянского языка от februare - "очищать, совершать очистительные обряды". В этот последний месяц года происходило очищение.

Ответ Светланы Кузнецовой правильный - ФЕВРАЛЬ, но вот объяснение - славянский бред.
Название его - как и всех прочих месяцев - заимствовано из латинского языка.
februare - "очищать, приносить искупительную жертву" - это латинский, а не старославянский.
Попутно кстати - Янус никогда не был богом Солнца, хотя богом всё же был.

Не очень поняла третий критерий.

Но вот ссылка, которая, надеюсь, поможет.

http://nsportal.ru/ap/ap/literaturnoe-tvorchestvo/issledovatelskaya-rabota-na-temu-proishozhdenie-nazvaniy-mesyacev-v

Июль.

1) К месяцам, связанным с названиями чисел, относятся сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь.

2) К месяцам, связанным с названиями богов древнеримской мифологоии, относятся январь, февраль, март, май, июнь.

3) Остаются апрель, июль и август. Из них апрель и август начинаются с одной и той же буквы. Остаётся июль.

Янус (лат. Ianus), двуликий бог дверей, входов и выходов, начала и конца.
Фебрус (лат. Februus), в древнеримской мифологии бог очищения.
Марс, бог войны.
Майя, богиня весны.
Юнона, богиня брака, рождения и материнства.

Сентябрь (седьмой) , октябрь (восьмой) , ноябрь (десятый) , декабрь (десятый) .

А речь, вероятно, о Гае Юлие Цезаре, в честь которого Август пятый месяц римского календаря назвал июлем (Iulius).