Натянутый - это причастие или прилагательное? ?

Прилагательное обозначает постоянный признак предмета. Причастие же обозначает признак предмета по действию.

Поэтому:
1. натянутый - прилагательное, если это слово употреблено в значении "лишённый непринужденности, естественности; напряжённый" (признак является постоянным, никакого действия совершено не было (никто ничего не тянул)):
◆ Было что-то тяжёлое, натянутое, недоговоренное, ссорное; все хмурились. Ф. М. Достоевский, «Идиот», 1869 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы);
◆ Наступило натя́нутое молчание. Высказываться никто не пожелал. М. А. Булгаков, «Театральный роман», 1936–1937 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы);

2. натянутый - причастие, если означает "который был натянут" (признак предмета по действию):
◆ На широких и больших пяльцах была натянута красная шелковая материя, подшитая с исподней стороны материей белою. В. В. Крестовский, «Панургово стадо», Ч. 1-2, 1869 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
◆ И вот в белом натянутом трико, голый по пояс, вышел массовик. Г. Я. Бакланов, «В месте светлом, в месте злачном, в месте покойном», 1995 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)
◆ Но ель ― дерево мягкое, поэтому, чтобы натянутые струны не проворачивали колки, мы вклеиваем колковую планку, в которую забиваются колки. Борис Ефремов (Гусли — своими руками) // «Народное творчество», 2003 г. (цитата из Национального корпуса русского языка, см. Список литературы)

прилагательное

"Между деревьями белел натянутый канат." Тут "натянутый" - отглаголенное прилагательное, без зависимых слов, можно заменить на "ещё не провисший", например.
"Между деревьями белел натянутый чьей-то сильной рукой канат." Тут это уже причастие, с оборотом, можно заменить на "который натянула чья-то сильная рука".

Это тот, кого натянули