Какими языками владел Николай Васильевич Гоголь?

С русским и украинским все более или менее понятно. Возможно, еще и близким к ним польским.
Насчет итальянского - не знаю. Языком международного общения в 19-м веке был французский, а для большинства русских дворян из образованных семей он являлся и первым родным. Многие из них по-французски говорили лучше, чем по-русски, свидетельства чего находим в литературе (Татьяна Ларина, пишущая любовное письмо на французском, Анатоль Курагин, который очень неуклюже рассказывает по-русски анекдот и др.). Известно, что Николай Васильевич закончил Нежинскую гимназию. В Википедии легко найти перечень предметов, там преподававшихся: закон Божий, древние языки, русский, немецкий и французский языки, математика, история и география, словесность российская и древних языков, философия, право естественное и народное, технология с химией, естественная история, государственное хозяйство, финансовая наука, римское право с его историей, русское гражданское и уголовное право и судопроизводство.
Так что Гоголь, гимназию окончивший, должен был обязательно знать русский, церковнославянский, древнегреческий, латынь, немецкий и французский.
К этому добавлю, что, как всякий более или менее образованный человек, а собиравшийся стать профессиональным литератором, тем более, Гоголь много читал тогдашней художественной литературы, а вот практики перевода ее на русский еще не существовало. Но английским владеть было нужно, ибо на нем писал Байрон, тогдашний владыка умов.
Про итальянский же Пушкин, например, в "Онегине" упоминает, что стихи Торкватто Тассо ему знакомы в английском переводе:

Но слаще, средь ночных забав,
Напев Торкватовых октав!

XLIX

Адриатические волны,
О Брента! нет, увижу вас
И, вдохновенья снова полный,
Услышу ваш волшебный глас!
Он свят для внуков Аполлона;
По гордой лире Альбиона
Он мне знаком, он мне родной.

Известно, что итальянским хорошо владел Батюшков. То, что знание итальянского не было большой редкостью среди русских дворян, легко узнать из пушкинских "Египетских ночей".
Но немецкий, французский и три мертвых языка - церковнославянский, древнегреческий и латынь, были необходимым знанием любого тогдашнего образованного человека.
Просто образованных было мало.

все русские дворяне, жившие в первой половине 19 века, владели французским, причем иногда даже лучше, чем родным русским

русским и украинским, но писал на русском

Свободно владел русским и украинским, поскольку родился и вырос на Украине. Возможно, разговорным итальянским, т. к. жил в Италии