Предложение без местоимения. Возможно ли? Есть ли такой стиль письма?

Такой стиль есть.
В русском языке, особенно в разговорном, очень широко распространены так называемые неполные предложения - такие, в которых отсутствует какой-нибудь из основных членов предложения. Поэтому в младших классах, когда детей учат правильной речи, учителя часто, задавая вопрос, указывают, давать на него полный ответ или можно неполный. Полный ответ подразумевает построение полного предложения со всеми членами. Видимо, и Ваша учительница хочет научить своих учеников строить полные, развернутые предложения по-русски.
Тем не менее, неполные предложения в русском языке есть, распространены они очень широко как в устной, так и в письменной речи и в литературе. Ну, пожалуй, еще неполные предложения не употребляются в деловой переписке и специальной литературе. А еще у нас есть односоставные предложения, в них тоже не все главные члены представлены.
Если интересны подробности, можете посмотреть здесь:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Односоставные_предложения
http://nashol.com/2012020863394/nepolnie-predlojeniya-v-russkom-yazike.html

и поразить свою учительницу глубиной познаний в русском языке.

Пример.

Предвижу всё: вас оскорбит
Печальной тайны объясненье.

Вы не правы. Ваши примеры (ем. делаю уроки. собираюсь в школу)
показывают, что вы даже не употребляя местоимения, всё равно их подразумеваете. В русском языке такие предложения как у вас являются определённо-личными. Это предложение -простое, односоставное, бесподлежащное с глаголом-сказуемым, который своим личным окончанием указывает, что действие, названное им, выполняется 1-м лицом (Я)
-----------------
Вам советую - не влезайте в такие дебри, слушайте учителя и ставьте самый простой вариант: Я ем. Я делаю уроки. Я собираюсь в школу
-------------
Что касается того, есть или нет предложения без местоимения, то, конечно, есть, их целая группа. Но в вашем случае, лучше ставить простые варианты двусоставных предложений. , где есть подлежащее и сказуемое.

твоя учительница - дура
утверждаю
готов аргументировать
ушел спать

конечно, можно и есть такие предложение.

Смеркалось.