А бывают ли такие, перекрёстные рифмы, где рифмуются не только, окончания каждого предложения, но и половинки?

Слишком трудно выстроить такие рифмы. Но изредка - бывают. Самая большая печаль = в стих вкладывается изначально СМЫСЛ, а чтобы подобрать ТАКИЕ РИФМЫ = придётся им жертвовать.

Бывают. Они называются внутренними рифмами.

Как живые изваянья, в искрах лунного сиянья,
Чуть трепещут очертанья сосен, елей, и берёз;
Вещий лес спокойно дремлет, яркий блеск Луны приемлет,
И роптанью ветра внемлет, весь исполнен тайных грёз.
Слыша тихий стон метели, шепчут сосны, шепчут ели,
В мягкой бархатной постели им отрадно почивать,
Ни о чём не вспоминая, ничего не проклиная,
Ветви стройные склоняя, звукам полночи внимать.

Подробнее здесь: https://pishi-stihi.ru/vnutrennyaya-rifma.html

Мне как-то попалось такое у Игоря Северянина.

Да, бывают. Такой способ рифмовки часто используется в английской поэзии. Вот, например, отрывок из стихотворения Толкина The sea-bell (Колокол моря):

I walked by the sea, and there came to me,
as a star-beam on the wet sand,
a white shell like a sea-bell;
rembling it lay in my wet hand.
In my fingers shaken I heard waken
a ding within, by a harbour bar
a buoy swinging, a call ringing
over endless seas, faint now and far.

Перевод:

У моря, у скал я отыскал
Раковину в песке.
Тайны полна, лежала она ;
В сжатой моей руке.
Подняв ее, вдруг услышал я звук,
Исполненный дивных сил —
Как будто бы зов из дальних краев,
Где колокол звонко бил.