по какой причине, Мару стали ассоциировать с птицей? и почему, позже "птицей" стали называть её сына ?

Чёрный лебедь - один из символов Мары. Также: грифон, чёрный ворон... Хотя Вы правы. Ворон чёрный - то, по легенде, её сынок.

«Редкая птица на земле подобна чёрному лебедю» (лат. rara avis in terris, nigroque simillima cygno) - цитата древнеримского поэта Ювенала.

«Чёрный лебедь» - очень интересная теория в прогнозировании редких важных событий (мирового значения). В мистике, для нас с вами, упрощённо, - в предсказаниях) это как раз на тему Мары как покровительнице славянской магии и предсказаний, особенно через сны,

К богине Морене (Маре) обращаются в славянской магии, когда желают остановить, предотвратить что-то в жизни, какое-то нежелательное событие. Часто к богине Зимы Морене обращаются в обрядах на здоровье.

В мистике считают Морена может остановить сестер-Лихоманок, приносящих болезни. Обряды, обращенные к Морене, Богине Смерти, следует проводить с особой осторожностью, как и любые другие обряды, обращенные к Богам Нави.

https://славяне.сайт/morena/

Что касается связи с благодатным огнём и "выходом из дерева"... Связь есть, по моему мнению. Смотрим подробно родословную Мары, кто её куда вогнал и кто откуда выгнал.
Кое-кто с Вами и со мной согласен.

И ещё, я уверена, здесь есть прямая связь между сжиганием чучела Мары и сжиганием ведьм на костре во времена Инквизиции.

Вот как достали ведьмы его преосвященство, что до сих пор чучело Мары счигают.
И не забываем, что богинь с именем Мара несколько, они все отличаются друг от друга. https://ru.wikipedia.org/wiki/Мара_(значения)

https://silaoberega.ru/bogi-slavyan/mara-boginya-smerti-v-slavyanskoj-mifologii/

http://radogost.ru/mara.html

https://ru.wikipedia.org/wiki/Марена_(мифология)