Скажите, пожалуйста, каким образом спираль ТЭНа (не путать с трубчатыми ТЭНами) может сушить воздух?

Ну, во-первых ТЭН и трубчатый ТЭН перепутать невозможно, т. к. это одно и то же, ведь ТЭН это аббревиатура Трубчатый Электро Нагреватель :)

Ваши подозрения оправданы - ТЭН, как и любой другой нагреватель воздуха, например батарея центрального отопления или теплый пол не может удалить воду из воздуха. Зато, нагревая воздух, любой нагревательный прибор снижает относительную влажность (см. определение в словаре) , что приводит к усилению испарения в т. ч. влаги из кожи и со слизистых оболочек, что восприниматеся как сухость воздуха. Поэтому любому нагревателю не помешает увлажнитель.

Что касается сжигания кислорода, то здесь тоже есть большие сомнения. Кислород сам по себе не горит, ему нужно соединиться с чем=нибудь. В ТЭНе этим чем-нибудь может быть только металл из которого он изготовлен. Да, на поверхности образуется окалина - соединнение железа и кислорода. Но ее слой тонок, образуется она не быстро и вряд ли способна съесть сколько-нибудь заметное количесвто кислорода.
Но, что в помещении, обогреваемым горячими тэнами ощущения не очень приятные и всегда душно - это похоже дейтствительно так. Возможно, кислород сгорает вместе с частичками пыли и проч. мусора, который попадает на нагревательные элементы, а можте дело в чем-то другом.
Мне приходилось жить в помещении, отапливаемом нагревателем с открытой спиралью. При этом сухость воздуха ощущалась, а вот эффекта "выжигания кислорода" - нет, голова не болела, даже не смотря на то, что проветривалось помещение редко. По крайнй мере гораздо хуже было жить при +8..10 градусах без обогревателя.

Элементароно просто.
Спираль вольфрама в открытом виде.
Раскалена .Сжигает кислорода в атмосфере. Остается азот.
А этот азот вбирает в себя влагу.

не только сушыт, но и взакрытом помещении выжигает кислород после чего болит голова