Почему если к какой-то точке тела приложена сила, то все тело начинает двигаться с одним и тем же ускорением?

1) Это верно только для так называемых твёрдых или жёстких тел. В противном случае возникают переходные процессы, которые Вы сами и попытались описать словами: "Вследствие этого возникнет сила упругости сонаправленная с действующей силой, но уже в другой точке..." - разные части тела движутся с разными скоростями и ускорениями. Переходные процессы являются деформациями тела и, как правило, носят характер затухающих колебаний (каждая небольшая часть тела может быть рассмотрена, как пружина с определённой жёсткостью). Если жёсткость тела велика, то деформации малы.

2) Про "пружина будет сильнее растянута к точке приложения силы" не совсем понял. Если жёсткость пружины одинакова по всей длине, то пружина будет растянута равномерно. Растягивается она потому, что на её концы с двух сторон действуют равные силы: с одной стороны сила тяги, с другой - сила инерции тела (рассматриваем в неинерциальной системе отсчёта, где вся система покоится).

3) "это рассуждение приводит меня к противоречию, ведь сила упругости должна быть направлена в противоположную сторону". Противоречия нет: у пружины 2 закреплённых конца, и в каждой из точек закрепления со стороны пружины действует сила упругости, направленная к центру пружины, т. е. в разные стороны. В точке приложения силы тяги сила упругости направлена в противоположную сторону, а в точке прикрепления груза эта сила сонаправлена силе тяги - именно она тянет груз.

Это происходит потому, что вы изучаете способы решения простейших задач. Здесь используется идеализация "абсолютно твёрдое тело", то есть такое, деформациями которого можно пренебречь в рассматриваемом явлении.
То же и с пружиной. Считается, что масса пружины ноль. Если хотят разобрать более интересную задачу, то указывают линейную плотность пружины (кг/м). Пружина будет растянута неравномерно, если движение с ускорением.