Почему мы моем руки щелочью (мылом), а не кислотой?

А это одномайственно.
Была у товарищей Джонсона и Джонсона линейка косметических средств, которая так и называлась - pH5.5. Вполне себе кислотная, и мыло там тоже было.

Вопрос поставлен безграмотно. Мыло - это соли карбоновых кислот, а не щёлочи и не кислоты. И мыло моет из-за того, что длинные анионы кислотных остатков обволакивают микрочастицы грязи, которые после этого легко смываются водой.
А вот мыло получают из жира в реакции со щёлочью. Поэтому, если руки мыть слабым щелочным раствором (например, кальцинированной содой), то жир с рук вместе с грязью смывается.
Перепутал автор вопроса два процесса из-за непонимания.

Когда как и кто как. Щёлочью, кислотой, солями...

Руки моет ПАВ с большим липофильным хвостом (для обволакивания частиц грязи) и гидрофильным для растворимости.
Небольшая примесь щёлочи в мыле уходит в реакции с солями жёсткости в воде.

Мыло - не щелочь

в кислотной среде бактерии чувствуют себя прекрасно

Хочется оставить руки на большее время пользования

Щелочь не так щипется и начинает щипаться не сразу, а кислота сразу, хотя следы щелочь оставить может более глубокие чем кислота, если ее не смыть сразу.
Так мы сразу и смываем.

Натрий и калиевые соли жирных кислот слаборастворимые. Сами жирные кислоты не растворимые, но обволакивают грязь и проникают между материалом и грязью. Отдельно щелочь слишком агрессивна, но жирные загрязнения стирает лучше.

Потому что щелочь лучший антисептик