Может ли солнце иметь вес, не массу, а именно вес?

Сначала узнать бы из чего состоит, консистенция солнца, а потом уже гадать

НЕТ.
Вес - это сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес.

Как только под Солнце подставят опору, оно начнет иметь вес ;)

На этот вопрос ответил Архимед. Он сказал: "Будь в моем распоряжении другая земля, на которую можно было бы встать, я сдвинул бы с места нашу" (впоследствии это высказывание стало известным в другой форме: «Дайте мне точку опоры, и я переверну землю»).
Пока подобной опоры нет, о весе говорить не приходится - ни для Земли, ни для Солнца.
(Та сила, о которой написал Сергей Логинов, не вес, а сила тяжести. Путать тяжесть и вес - распространенная ошибка, но это разные силы, приложенные к разным телам: когда Вы встаете на весы или садитесь на стул, тяжесть тянет Вас вниз, она приложена к Вашему телу, а вес давит на опору - пол, стул, весы. Если опоры нет, тело падает под действием силы тяжести, находясь в невесомости).

Вес есть — оно находится в постоянно изменяющемся гравитационном поле всех планет, его окружающих, заставляя его болтаться туда-сюда. Но так мало, что учёт этого совершенно незначителен. Больше всего болтает Солнце Юпитер, Сатурн уже меньше, а влияние остальных ничтожно. Думали, "Парад планет" как-то повлияет и опасались его — бестолку, даже и не заметили...

Единственное, что можно с грехом пополам считать "опорой" для Солнца - межзвездную газовую среду. Вокруг Солнца существует большая область гелиосферы (поддерживаемой магнитосферой и солнечным ветром), на которую набегает поток межзвездного газа, что создает хоть и ничтожное, но ускорение. Не знаю, насколько велика получающаяся сила сопротивления, в абсолютных цифрах может и весьма внушительная, но влияния на движение Солнца не оказывающая.
Если грубо считать, что радиус гелиосферы порядка 13 млрд км, в межзвездной среде 1 атом на куб. см и движется он со скоростью 30 км/с - получается сопротивление примерно 220 миллиардов тонн силы, если не напутал.

Может! Если найдётся объект с атмосферой, чтобы поместить туда солнце.

Солнце имеет весьма конкретный вес: мы все живём и чудим исключительно благодаря Солнцу.

Да, если рядом будет обьект массивнее чем солнце)
тогда солнце притянется к нему и оно будет иметь вес

Солнце находится в состоянии неВЕСомости вращаясь по своей орбите вокруг центра масс Солнечной системы, равно как и вокруг центра нашей Галактики. Так же и планеты и спутники находятся в состоянии неВЕСомости - они постоянно падают к центру масс каждой системы и весить начнут при прямом взаимодействии небесных тел друг на друга. Вот спутник приземлился или окончательно упал на поверхность другого небесного тела и сразу приобрёл вес, хотя вес он начнёт постепенно приобретать при вхождении в атмосферу. Приземление Солнца несколько более сложный процесс, поскольку оно не имеет жесткой поверхности и в таком случае скорее произойдёт слияние двух небесных тел или поглощение, если их размеры будут сильно различаться...

есть у неё вес)