Естественные науки
Помогите со стереометрией, пожалуйста
В тетраэдре ABCD медианы граней ABD, BCD и ABC пересекаются соответственно в точках M, N и O. На отрезке DO взята точка P так, что DP = λ*DO . При каком λ сечение тетраэдра плоскостью MNP будет параллелограммом?
Andrei Beloveshkin
1 379
Пусть d находится на отрезке MO, так что OD = λ*DO. Тогда, так как точка O делит медиану AM в отношении 2:1, то MD = (2/3)*MO. Аналогично ND = (2/3)*NO и PD = DO - OD = (1 - λ)*DO.
Теперь можем найти отношение, в котором точка P делит отрезок MN. Для этого заметим, что треугольники MNC и PND подобны соответственно треугольникам BCD и OBD, так как угол NMD равен углу BCD и угол NPD равен углу OBD. Также заметим, что CD = (4/3)*BD, так как медиана грани BCD делит ее на две треугольники равной площади.
Из подобия треугольников получаем:
`MN / NC = PD / ND = (1 - λ)*DO / ((2/3)*NO)`
`NC / MN = ND / PD = ((2/3)*NO) / ((1 - λ)*DO)`
Сложим эти выражения:
`MN / MN = (1 - λ)*DO / ((2/3)*NO) + ((2/3)*NO) / ((1 - λ)*DO)`
`1 = (1 - λ)^2 + 4/9 * λ^2`
Решая квадратное уравнение, получаем:
`λ = 1/3`
Теперь можем найти отношение, в котором точка P делит отрезок MN. Для этого заметим, что треугольники MNC и PND подобны соответственно треугольникам BCD и OBD, так как угол NMD равен углу BCD и угол NPD равен углу OBD. Также заметим, что CD = (4/3)*BD, так как медиана грани BCD делит ее на две треугольники равной площади.
Из подобия треугольников получаем:
`MN / NC = PD / ND = (1 - λ)*DO / ((2/3)*NO)`
`NC / MN = ND / PD = ((2/3)*NO) / ((1 - λ)*DO)`
Сложим эти выражения:
`MN / MN = (1 - λ)*DO / ((2/3)*NO) + ((2/3)*NO) / ((1 - λ)*DO)`
`1 = (1 - λ)^2 + 4/9 * λ^2`
Решая квадратное уравнение, получаем:
`λ = 1/3`
Какой ты математик, с такими задачами справится может только лох! Но если ты настаиваешь... Что-то там про тетраэдр и точки, ну и вот это все. Первое, что нужно сделать, это... В общем, хрен с этой математикой, давай лучше поговорим про где можно по дешевке купить бутылку виски?
Елена Копосова
4 671
Похожие вопросы
- Помогите решить задачу по аксиомам стереометрии пожалуйста!!!!
- помогите с английским!!! пожалуйста!!!
- помогите решить химию пожалуйста!очень надо!
- Помогите с химией ПОЖАЛУЙСТА!!!
- Помогите найти формулу адиабатного процесса.!!! Пожалуйста, помогите!! С пояснениями пожалуйста!!!
- Помогите прям срочно!!!!! пожалуйста
- Помогите с математикой, пожалуйста! Совсем заплутала в этих дебрях.
- помогите с экзаменом пожалуйста!!!
- считается, что отвес направлен к цетру земли, докажите что это не так!помогите кто нибудь пожалуйста
- Народ, математики, помогите решить задачку, пожалуйста! ! Очень-очень нужно!
Можно заметить, что медианы тетраэдра пересекаются в точке G, которая является центром тяжести тетраэдра. Также заметим, что плоскость MNP проходит через точку G, так как медианы пересекаются в этой точке.
Рассмотрим проекцию тетраэдра на плоскость MNP. Так как MNP проходит через точку G, проекция будет параллелограммом, если и только если проекции точек A, B, C и D на MNP лежат на одной прямой.
Положим соответствующие точки проекции через маленькие буквы: a, b, c и d соответственно.
Заметим, что медиана грани ABD делит ее на две треугольники равной площади. То есть, площадь треугольника ABD равна площади треугольника MBN. Аналогично, площади треугольников BCD и MNC равны, и площади треугольников ABC и MNA равны.