Как связаны святки и новый год?

То, что в современной России именуют новогодними каникулами, в дореволюционной России называли Святками. Это была череда праздников, начинавшаяся Рождеством (25 декабря по действовавшему тогда старому стилю), затем – Новый год, в народе по-другому именуемый Васильевым днем (1 января), и, наконец, Крещение (6 января). Здесь важно отметить, что Рождественский пост заканчивался 24 декабря и ничто не мешало бурной встрече Нового года. (Сейчас, когда на новый стиль переведен только светский календарь, а церковь продолжает жить по старому стилю, Новый год приходится на Рождественский пост.)
В старину готовились к праздникам заранее, самый главный день подготовки приходился на Сочельник 24 декабря. Даже в не религиозных семьях, где пост соблюдался не строго, в Сочельник обычно постились. В купеческих и мещанских домах пост соблюдался строже, чем в дворянских, в том числе и обычай не есть до «первой звезды». Еда Сочельника – кутья, или, по-другому, «сочиво» (сочная каша с медом, обычно из проросшей пшеницы), и взвар – ставились под иконы на подстилке из сена. Их употребляли до всенощной службы в церкви.

После богослужения простой люд традиционно отправлялся колядовать, то есть ходить по соседским домам с песнями, прославляющими Рождество Спасителя.

Коренные москвичи не употребляли слова «колядовать» – говорили «славить». Каждая семья ожидала христославов, приготавливая для них угощение. Обычно это были «козули» – пряники в форме коровы или козы, которые символизировали животных, находившихся в хлеву во время рождения Иисуса Христа.

http://lhistory.ru/statyi/svyatki

До революции выходными – не рабочими – днями были 25 и 26 декабря, 1 и 6 января. Промежуточные дни были рабочими. В первый день Рождества и на первое января у всех сословий в обычае были походы друг к другу «с поздравлением».
На Святки, пока высший свет веселился на балах и маскарадах, простые горожане развлекались на катальных горах, которые часто стояли потом до Масленицы, и в балаганах, где давались незамысловатые представления.

Рождество или Велесовы святки.

Новый год или щедрый вечер?

Никак. Славянский древний праздник, длится от первой звезды, в канун Рождества: до Крещенья.