Если "жи", "ши", пишутся с "и", то почему не исправят ошибку у города Шымкент?

Это же на казахском языке.
Россия, например - Ресей, Москва - Мәскеу, Япония - Жапония и т. д.
Уральск - Орал.
И ещё куча забавных названий.

Мне как-то до лампочки как казахи этот город называют. Для меня он всегда был, сейчас есть, и всегда будет ЧИМКЕНТом. Так же как мне до лампочки, что англичане называют свой город МАНЧЕСТЕР "Мэнчиста". Это ИХ проблемы, не мои. Но то, что они называют Москву "Москоу" мне тоже как-то до лампочки... Это тоже их проблемы, пусть как хотят так и называют НА СВОЕМ языке.

По-русски этот город назывался Чимкент. С распадом СССР в России решили именовать его на языке оригинал - Шымкент.
Правила русской орфографии не распространяются на имена собственные, особенно иностранного происхождения. Примеры: окраинный район Вильнюса Маркучяй, великий литовский композитор и художник М. -К. Чюрлёнис и почему-то русская поэтесса "Серебряного Века" Ольга Чюмина.

в русском языке нет слов начинающихся на Ы, Й но есть переводные имена, кстати этот город раньше назывался чимкент, а в эстонии есть улица и район ЫЙСМЯЭ, а еще есть город ЙЫХВИ-и эти названия существуют еще со времен ссср

А вы называйте его по старому - Чимкент.
Тем более, что в России всех этих переименований так и не произошло (Даже Семипалатинск остался Семипалатинском, а не стал каким-то Семеем)

Названия городов, фамилии и прочее не подчиняются орфографическим правилам насколько помню. Синицын, но Ельцин и т. д.

Правила Казахского языка можете выучить, сингармонию, как в Азербайджанском)

на имена собственные - имена, фамилии, названия населенных пунктов это правило не распостраняется.

В данном правиле исключений нет. Буква "Ы" может быть использована после "Ш" или "Ж" только в именах собственных. Например, есть город Шымкент в Казахстане.