Можно ли было в доевних городах Греции, Рима, Ассирии, Вавилона ездить?

Вавилон единственный в те времена имел регулярную планировку. Его улицы пересекались под прямым углом. Он был разделен на крупные прямоугольные кварталы восемью проспектами, мощенными каменными плитами. И по этим проспектам ездили! В Афинах ходили пешком, но там просто были слишком узкие улицы, чтобы ездить. По Риму ездить вообще было запрещено. Самый знатный римлянин, в т. ч. и обличенный консульской властью (высшей властью в республике) , шествовал по Риму с почетной охраной, но пешком. Можно было также перемещаться на носилках, несомых рабами. Однако для молодого человека это было неприлично, а приличествовало только старику. Одна из особых почестей, воздаваемых триуфатору-полководцу, состояла именно в том, что триумфатор-полководец ехал по Риму в колеснице. Например, Гней Помпей Великий был удостоен трех триуфов и мог похвастаться, что трижды прокатился по Риму! А по Вавилону ездили.

можно

ездить можно было, только ездили только богатые жители. Ездили в основном или на носилках сверху накрытый палантином, которые несли рабы, или в колесницах

В Риме ездили колес­ницы, экипажи, повозки, с восхода солнца и до конца «рабочего дня» (то есть примерно за два часа до его захода) запрещался проезд по Риму колес­ниц, экипажей, повозок частных владель­цев.
В Древнем Риме, например, где одним из распространенных средств передвижения были колесницы, на улицах Вечного города пришлось вводить одностороннее движение. Первые попытки регулирования на перекрестках предпринимали патриции и торговая знать. Они высылали впереди себя скороходов, которые обеспечивали им свободу продвижения на перекрестах, но это не всегда удавалось.

ездить верхом на колеснице можно было. . А если подробно интересно - http://konan.3dn.ru/publ/33-1-0-772