Что за странная коробка на телефонном проводе в квартире? и можно ли её безболезненно выкинуть?

Можно уже.
Назначение и краткое описание установки АВУ

Абонентская высокочастотная установка (АВУ) предназначена для организации на абонентской линии ГТС одного дополнительного телефонного канала, кроме обычного канала, расположенного в тональном диапазоне частот. При этом по НЧ каналу, как и по абонентской линии, допускается спаренное включение телефонных аппаратов, Дополнительный канал образуется путем высокочастотного уплотнения абонентской линии с частотным разделением каналов.
Установка рассчитана для работы по существующим кабелям городских телефонных сетей марок Т и ТПП с жилами диаметром 0.4- 0.7 мм. Максимальная длина связи зависит от типа абонентской линии и определяется допустимым затуханием сигнала на частоте 800 Гц.
Установка обеспечивает нормальную работу в стационарных условиях в закрытых помещениях при температуре от +5 до +40° относительной влажности от 45 до 80% и атмосферном давлении от 630 до 800 мм рт. ст.
Электропитание станционного комплекта установки осуществляется от источников постоянного тока с номинальным напряжением 60 В, а абонентского высокочастотного комплекта - от сети переменного тока 220/127 В через выпрямитель с обеспечением резервного питания от химических источников постоянного тока.

Так это блокиратор наверное. Когда по одному говорят, второй отключается?

Это блокиратор на спаренные телефоны

Похоже на то, что вас прослушивают ФСБ. Давно ли она появилась?

Разветвитель блокиратора, у вас установлена аппаратура уплотнения - спаренные абонентские номера на 2 квартиры. Давно такого не видел у нас все АТС перешли на цифру и потребность в аналоговых блокираторах ушла в прошлое, но у вас именно аналоговая АТС и блокиратор.
Полномочия снять аппаратуру уплотнения есть исключительно у монтеров оператора связи, т. е. пишите заявления официальное иначе Вас оштрафуют за нарушение телекомовского договора и самоуправство.

Лучше не трогай.

выкинь, больно не будет, но и телефон больше работать не будет...

Фильтр от статических шумов или высоких частот, похоже... Утверждать не буду)