Будут ли крутится у видеокарты кулера если она не подключена к монитору?

Маловероятно, что "смерть" монитора - "зацепила" видеокарту, исключением может быть удар молнии или подобное.
Ну или выход из строя микросхем внутри монитора и/или адаптера hdmi/vga, но тогда обычно только один из видеовыходов может выйти из строя (несмотря на все защиты).
А вентиляторы на многих современных видеокартах, включаются только после достижения определенной температуры - вне зависимости от подключения чего либо к ним.
ЗЫ: "Поржал" с других ответов. Люди такие наивные, в особенности когда абсолютно!, в этом не разбираются.
Типа "монитор не может убить видеокарту" - ну, ну, как "убивали" мониторы со времен CRT мониторов и ТВ и MDA видеокарт (на ISA шине) видеоадаптеры, как "убивали" во времена PCI видеокарт, и первых LCD и видеокарт уже под AGP - так и "убивают", правда, очень очень редко. Правда зачастую выходят из строя цепи одного или пары видеовыходов, в особенности на последних видеокартах, а во времена VGA подключения - зачастую выбивали часть схемы на "цвет" или синхронизацию. Да и в случае с нормальным, правильно сделанным заземлением, шанс выхода из строя видеокарты по причине "из-за монитора или подключения к нему" - встречается еще реже.

Мониторы получают сигнал с видеокарты, а не наоборот.
Сам по себе монитор ничего не может сделать с видеокартой.

будет крутиться
проверь на телеке

монитор явно не убьет видеокарту