мой век что день без солнышка. слово что является чем?

Что в данном предложении – это союз.

Есть два омонима – вопросительно-относительное местоимение ЧТО и союз ЧТО (частица исключается: есть только составная восклицательная частица ЧТО ЗА, наречие тоже исключается) . Смотрите словарь.

В данном случае перед нами союз. Его функция – соединение подлежащего и сказуемого.

В предложении _Мой век что день без солнышка_ век – подлежащее, а что день – сказуемое (союз в данном случае входит в состав сказуемого) .

Сказуемое может присоединяться к подлежащему, кроме союза что, союзами как, точно, словно, будто, как будто:
Мой век как день без солнышка.
Мой век точно день без солнышка.
Мой век словно день без солнышка.
Мой век будто день без солнышка.
Мой век как будто день без солнышка.

Правило гласит, что в подобных предложениях перед союзом НИКОГДА не ставится запятая, так как между подлежащим и сказуемым ни в коем случае нельзя ставить этот знак. Единственный знак препинания, который может стоять между подлежащим и сказуемым, – тире. В данных предложениях тире лучше не ставить, так как опять же правило гласит, что между подлежащим и сказуемым, которые выражены именами существительными, тире не ставится, если сказуемое присоединяется с помощью союза. Но постановка тире правилом всё же и не запрещается: как авторский знак его можно допустить, как и в других случаях необязательной постановки тире между подлежащим и сказуемым.

Простая частица.
Причем, мой век, что день без солнышка. Сравнение: век сравнивается с днем.

Местоимение, если был союз, то перед словом "что" стояла бы запятая.

Замени его не меняя смысл предложения! Например : мой век КАК день без солнышка.. . Что такое КАК ты знаешь? ;)