Князь - это какой социальный статус? Достигаемый или приобретенный?

КНЯЗЬ
1.
Предводитель войска и правитель области в феодальной, удельной Руси.
"Киевские князья"
2.
Наследственный титул потомков таких лиц или лиц, получавших его при царизме в награду, а также лицо, имеющее этот титул.

Княжеская власть, сначала чаще всего выборная, постепенно становится наследственной (Рюриковичи на Руси, Гедиминовичи и Ягеллоны в Великом княжестве Литовском, Пясты в Польше, Пржемысловичи (?) в Чехии и т. д.).

В России до XVIII века звание князя было только родовым.

С начала XVIII века титул князя стал также жаловаться царём высшим сановникам за особые заслуги (первый пожалованный князь — А. Д. Меншиков).

При этом существовали следующие разновидности титула:

великий князь — сын, брат, внук, а в 1797—1886 также правнук и праправнук императора в мужском поколении. Титулование «Ваше Императорское высочество» [3].
князь императорской крови — правнук и праправнук императора (до 1797 и после 1886), обладал правом на титул «Ваше высочество» [4]
светлейший князь — титул жаловался по воле императора, его также носили младшие сыновья правнуков императора и их потомки по мужской линии. Титулование «Ваша светлость» [5];
сиятельный князь — «природный» князь, имевший право на титул как потомок удельных или великих князей. Титулование «Ваше сиятельство», в гербе — княжеская шапка с горностаевым околышем над бархатной с горностаями сенью [6].
Княжеский титул (вместе с другими дворянскими) отменён декретом ВЦИК «Об уничтожении сословий и гражданских чинов» от 10 ноября 1917.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Князь

Напишите в Гугл-Князь А. Болконский и почитайте.