Какую реку, согласно пословице, можно перейти только в одном направлении?

Рубико́н.
Река широко известна благодаря выражению «перейти Рубикон», означающему некоторое бесповоротное решение. История этого выражения восходит ко времени, когда Гай Юлий Цезарь ещё не стал диктатором, а был одним из римских военачальников (проконсулом), а сам Рим был республикой. По закону проконсул имел право возглавлять войско только за пределами Италии. Цезарь, возвращаясь из победоносного похода, был предупреждён своими сторонниками из сената о готовящемся против него заговоре. 10 января 49 года до н. э. полководец со своими легионами подошёл к Рубикону. Юлий Цезарь понимал, что без войска его могут убить в Риме, а с войском он войти не мог. Переход войск через Рубикон сенат расценил бы как мятеж. Будущий диктатор не был до конца уверен в силе своего войска и какое-то время колебался, ведь в случае поражения он потерял бы власть и был бы казнён. Однако Цезарь с войском всё-таки перешёл через реку и после гражданской войны был провозглашён диктатором. С тех пор выражение «перейти Рубикон» означает «пройти точку невозврата», то есть совершенное действие после которого уже невозможно отказаться от замысла или вернуться назад. Аналогичный фразеологизм — «жребий брошен» (лат. ālea jacta est) — слова, которые произнёс Цезарь, решившись на переход.

та что высохла

В реку Времени.

Стикс?

нет такой пословицы

Рубикон,

кануть в Лету, не? (Лета - река забвения)
или Коцит и Стикс, две речки на границе загробного мира

Рубикон. Это библейское, простительно если вдруг не в теме.
=)

Неглубокую наверное, не широкую и спокойную.

в одну воду невозможно войти дважды.

Рубикон