задали по информатике написать таблицу умножения в девятнадцатиричной системе счисления, такая существует вообще?

Если система больше чем десятичная, то для недостающих цифр берутся буквы. То есть в вашем случае это будет:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I - Это первый девятнадцаток. (По аналогии с десятком) . Потом пойдут двузначные цифры.
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 1G 1H 1I
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 2E 2F 2G 2H 2I И так далее
Стало быть, таблица умножения на 2
1*2 = 2
2*2 = 4
2*3 = 6
2*4 = 8
2*5 = A (По десятичному 10)
2*6 = C (По десятичному 12) и т д
2*7 = E
2*8 = G
2*9 = I
2*A = 11 (По десятичному 20, расшифровать двузначную цифру можно так 1*19^0+1*19^1 = 1+19=20)
2*B = 13 (По десятичному 22, расшифровать двузначную цифру можно так 3*19^0+1*19^1 = 3+19=22)
2*C = 15
2*D = 17
2*E = 19
2*F = 1B
2*G = 1D
2*H = 1F
2*I = 1H
2*10 = 20

Ну, можно так сказать.
Составляешь числовой ряд, как я вначале. Я показала 3 девятдцатка. Продолжаешь по аналогии.
В таблицу умножения на 2 попало каждое второе значение из этого ряда.
В таблицу умножения на 3 попадет каждое третье значение из этого ряда. И так далее.

существовать может любая система счисления. Основание может быть какое угодно

любое число можно разложить по любому основанию, например:
в девятнадцатеричной системе разложим число
345,67(19 система) =3*19(2)+4*19(1)+5*19(0)+6*19(-1)+7*19(-2), где в скобках стоит степень числа 19.

существует.
жаль что задавая такие задания теперь в школе не дают основ предмета