{(a,b), (c,b), (c,a)} - является транзитивным или нет?

Транзитивность - это когда из того что (a R b) и (b R c) следует, что (a R c). Запись (a R b) по определению означает, что a и b находятся в отношении R, другими словами пара (a,b) принадлежит множеству, которое определяет данное отношение (в вашем случае, это множество { (a,b), (c,b), (c,a) }.)

Обозначим указанное множество буквой A, т. е. пусть A := { (a,b), (c,b), (c,a) }

Вы пишите, что (b,c) не принадлежит множеству А, стало быть A не является транзитивным. Это неверное рассуждение. Свойство, которое должно выполняться для того, чтобы множество считалось транзитивным, имеет вид: "Для любых трёх элементов a, b и c из A, если X, то Y", где X означает фразу "пары (a,b) и (b,c) принадлежат множеству A", а Y - "(a,c) принадлежит A". Выражаясь математическим языком, множество называется транзитивным, тогда и только тогда когда для любых трёх его элементов верна импликация X ⇒ Y. В рассматриваемом вами случае (b,c) не принадлежит A, стало быть утверждение X ложно. В этом случае импликация X ⇒ Y по определению является истинной, вне зависимости от истинности Y, а значит отсутствие пары (b,c) не противоречит транзитивности множества. На самом деле, импликация X ⇒ Y будет ложной лишь тогда, когда X истинно, а Y ложно, т. е. нам достаточно проверить лишь те упорядоченные тройки элементов, для которых X - истинно. В нашем случае такая тройка только одна: c, a, b. Для неё истинно как X, так и Y, следовательно множество А является транзитивным.

Другие примеры транзитивных множеств - это, например, множество действительных чисел вместе с отношением "<" (если a < b и b < c, то a < c) и множество целых чисел с отношением делимости (если a делит b, а b делит с, то a делит с).

Не является транзитным

Нет!

ага