программисты, кто сможет решить задачу по математике ???

UPD. Неправильно понял вопрос

Не решим.
Все геометрические задачи замечательно решаются через декартовы координаты.
Там расчетов дохрена немножко может быть, ну так поэтому у нас и калькуляторы такие здоровенные.
Интересуйся у метематиков, они любят извращаться.

Странная задача. Такие параметры могут быть ТОЛЬКО у равностороннего треугольника. А раз так, то все его углы равны 60. Cинус = sqrt(3)/2
И чего тут мудрить какие-то 3 способа...
Но это всё бред, конечно.

Решение через комплексные числа-------------------------------------------------

Пусть точка A имеет координаты 0 + 0i, B имеет координаты b + 0i, а C имеет координаты c + di, где d > 0.

Тогда точки A1, B1 и C1 будут иметь координаты (c + di)/2, (b^2 + d^2)^(1/2)/2 + 0i и (b + c + di)/3, соответственно.

Следовательно, мы можем записать векторы AA1, BB1 и CC1 как (c + di)/2, (b^2 + d^2)^(1/2)/2 - b и (b + c + di)/3 - c/3 - d/3 i.

Заметим, что вектор BB1 и сумма векторов CC1 и AA1 перпендикулярны, поскольку BB1 является биссектрисой, а CC1 и AA1 являются медианой и высотой, соответственно, проведенными из одной и той же вершины. Следовательно, мы можем записать уравнение:

Re((c + di)/2 * ((b^2 + d^2)^(1/2)/2 - b)) = 0,

где Re(z) обозначает действительную часть комплексного числа z.

Раскрывая уравнение, получаем:

bc/2 - d^2/2 - b^2/2 = 0,

так как с = bcos(C) и d = bsin(C).

Заметим также, что треугольник ABC является прямоугольным, поэтому синус наименьшего угла является sin(C) для некоторого C, лежащего между 0 и 45 градусов.

Используя уравнение bc/2 - d^2/2 - b^2/2 = 0, мы можем выразить sin(C) через b:

sin(C) = d/b = (b^2/2)/(bc/2 - b^2/2) = b/(2c - b).

Теперь мы можем найти sin(C) и получить ответ.

С помощью полярных координат----------------------------------------------------------
Рассмотрим точку пересечения высоты и биссектрисы. Пусть она находится на расстоянии r от вершины А и угол A1AC равен α. Тогда точка пересечения биссектрисы и медианы находится на расстоянии r от середины BC и угол C1BA равен α.

Так как точки пересечения лежат на одной прямой с вершиной А, то угол C1A1B равен 180 - α. Рассмотрим треугольник A1B1C1, в котором A1C1 = B1C1, тогда угол A1B1C1 также равен α. Из правил полярных координат следует, что

sin α = |B1C1| / |A1C1| = 1 / 2,

так как B1C1 является медианой, а A1C1 - половиной основания треугольника A1BC.

Решение задачи через векторы---------------------------------------------------------------------
Пусть векторы AB и AC задают стороны треугольника ABC. Тогда векторное произведение AB и AC равно:
AB x AC = |AB| * |AC| * sin(α) * n,
где α - угол между векторами AB и AC, n - единичный вектор, перпендикулярный плоскости ABC.

Так как точка пересечения высот, биссектрис и медиан лежит внутри треугольника, то сумма векторных произведений AB x AA1, BB1 x AC и CC1 x AB равна нулю:
AB x AA1 + BB1 x AC + CC1 x AB = 0.

Выразим sin(α) через векторы:
sin(α) = |AB x AC| / (|AB| * |AC|) = |n|.

Таким образом, синус угла α равен модулю единичного вектора, перпендикулярного плоскости треугольника ABC и равен:
sin(α) = |n| = |AB x AA1 + BB1 x AC + CC1 x AB| / (|AB| * |AC|).

Находим модули векторов:
|AB| = √(b^2 + c^2),
|AC| = √(a^2 + c^2),
|AB x AA1| = |AB| * |AA1| * sin(β) = b * cos(γ) * sin(β),
|BB1 x AC| = |AC| * |BB1| * sin(γ) = c * cos(β) * sin(γ),
|CC1 x AB| = 1/2 * |AB| * |CC1| * sin(π - α) = 1/2 * b * cos(γ) * sin(π - α).

Подставляем значения в формулу для синуса:
sin(α) = |AB x AA1 + BB1 x AC + CC1 x AB| / (|AB| * |AC|) =
= (b * cos(γ) * sin(β) + c * cos(β) * sin(γ) - 1/2 * b * cos(γ) * sin(π - α)) / (b * c).

Угол α является наименьшим углом треугольника, если он лежит между сторонами AB и AC. Для этого условие выполняется, если скалярное произведение векторов AB и AC отрицательно:
AB * AC = a * b * cos(α) < 0.

Таким образом, синус наименьшего угла треугольника ABC равен:
sin(α) = (b * cos(γ) * sin(β) + c * cos(β) * sin(γ) - 1/2 * b * cos(γ) * sin(π - α)) / (b * c)