признак монотонности функции вывод

Определения
Пусть дана функция Тогда

функция f называется возраста́ющей на M, если
.
функция f называется стро́го возраста́ющей на M, если
.
функция f называется убыва́ющей на M, если
.
функция f называется стро́го убыва́ющей на M, если
.
(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Другая терминология
Иногда возрастающие функции называют неубыва́ющими, а убывающие функции невозраста́ющими. Строго возрастающие функции тогда зовут просто возрастающими, а строго убывающие просто убывающими.

Свойства монотонных функций
Монотонная функция, определённая на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.
Монотонная функция, определённая на замкнутом интервале, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.
Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.
Монотонная функция дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.
Условия монотонности функции
(Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда
f возрастает на (a,b) тогда и только тогда, когда
f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда
(Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда
если то f строго возрастает на (a,b);
если то f строго убывает на (a,b).
Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале (a,b). Точнее имеет место

(Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть и всюду на интервале определена производная f'(x). Тогда f строго возрастает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Аналогично, f строго убывает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Примеры
Экспонента f(x) = ex строго возрастает на всей числовой прямой.
Парабола f(x) = x2 строго убывает на и строго возрастает на .
Константа одновременно возрастает и убывает на всей числовой прямой.
Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.