Оба омонима ПОБЕГ (и «молодой стебель растения вместе с листьями и почками; отросток», и «самовольный уход из мест заключения, из места вынужденного пребывания») имеют одинаковый состав (нулевое окончание, основа ПОБЕГ-; в основе корень БЕГ- и приставка ПО-, ещё и НУЛЕВОЙ суффикс есть в обоих словах между корнем и окончанием, так как образованы они были бессуффиксным способом, раньше в школах о таком суффиксе не говорили, сейчас на ЕГЭ масса заданий на эту тему). И, как уже понятно, слова эти имеют омонимичные корни.
Разные слова ПОБЕГ были образованы путём распада многозначного слова на омонимы.
Нападки на Министерство образования в данном случае неуместны, так как ЯЗЫК РАЗВИВАЕТСЯ ПО СВОИМ ВНУТРЕННИМ ЗАКОНАМ И НИКАК НЕ ЗАВИСИТ ОТ ДИРЕКТИВ МИНОБРА, а В МИНИСТЕРСТВЕ РАБОТАЮТ НЕ ДУРАКИ, ПОЭТОМУ ПОДОБНЫХ УКАЗАНИЙ НИКОГДА НЕ ДАЮТ. Развитие языка, в том числе и изменения в морфемном составе слов, отслеживаются учёными и фиксируются в словарях. Единственное, что может сделать Министерство образования, даже обязано сделать и сделало, – порекомендовать в учебных целях использовать какие-то определённые словари, в частности Орфографический словари Российской академии наук, потому что нынче любой человек (даже не имеющий специального образования) может составить и издать за свой счёт собственный словарь с далеко не всегда обоснованным даже написанием того или иного слова. В таком обилии словарей, какое мы имеем нынче, следует больше доверять специалистам, то есть учёным-лингвистам, а не дилетантам, и Министерство ОБЯЗАНО оградить школы от макулатурных справочников, которых выпущено нынче великое множество как в книжном варианте, так и онлайн и в которых не всегда могут разобраться ученики.
Ещё замечу: ы слова ПОВАР как выделялся корень ВАР-, так и выделяется, так как значение корня в слова ПОВАР то же самое, что и в словах ВАРИТЬ, ПЕРЕВАРИТЬ. Можете посмотреть состав данного существительного в Морфемно-орфографическом словаре о адресу: http://udarenieru.ru/index.php?morph_word=повар&word=on
.
