для чего и где используются комплексные числа

Используются много где. Расширяют множество действительных чисел. Решают проблемы со взятием четного корня из отрицательных чисел. С помощью них, если не ошибаюсь, была решена задача со взятием корня степени n из числа.
Вообще, это просто множество чисел. Также как и целые, действительные и так далее. Применяются когда есть нужда.
Необходимость в них, можно увидеть например при решении уравнения
x^3 - 1 = 0
x = 1
Разобьем на множители
(x - 1)(x^2 - x + 1) = 0
x^2 - x + 1 = 0
D < 0
Получается что наше уравнение, если мы знаем только действительные числа, как бы недорешено. А с комплексными числами есть еще 2 корня.
(D = -3; x = (1 +- i * sqrt(3))/2)
Просто широкий класс уравнений не может быть решен без этих чисел.
К слову, формула Эйлера
e^(ix) = cosx + isinx
очень удобна и полезна оказалась. Ну как минимум можно выводить тригонометрические тождества.
e^(ai) = cosa + isina
e^(bi) = cosb + isinb
cos(a + b) + isin(a + b) = e^(a + b)i = e^(ai) * e^(bi) =
= cosa * cosb - sina * sinb + i(sina * cosb + cosa * sinb)
Приравнивая действительные и мнимые части
cos(a + b) = cosa * cosb - sina * sinb
sin(a + b) = sina * cosb + cosa * sinb
Добавлю еще одно замечательное свойство.
e^(ix) = cosx + isinx
e^(-ix) = cosx - isinx
Например, сложив два этих равенства, и, затем, разделив на 2, мы получим такое уравнение
cosx = (e^ix + e^-ix)/2 (скобки в степенях буду опускать. Думаю уже понятно, что все выражение (ix) стоит в степени экспоненты)
Далее требуется понизить степень 5 косинуса
cos^5x = ((e^ix + e^-ix)/2)^5 = 1/16 * ((e^ix + e^-ix)^5)/2
Найдем разложение (a + b)^5 по треугольнику Паскаля и применим к нашему случаю.
1/16 * ((e^5ix + 5e^3ix + 10e^ix + 10e^-ix + 5e^-3x + e^-5x)/2) =
= 1/16 * ((e^5ix + e^-5ix)/2 + 5(e^3ix + e^-3ix)/2 + 10(e^ix + e^-ix)/2) =
= 1/16 * (cos5x + 5cos3x + 10cosx)
Степень косинуса может быть очень большой. Но наше разложение косинуса, вся его сложность, уперлась тупо в раскрытии скобок в степени 5, что компенсируется треугольником Паскаля - по нему очень быстро можно получать разложения.
Извините за долгий рассказ, просто крик души))

Приложение комплексных чисел в электротехнике

http://moluch.ru/archive/37/4252/

Почитайте здесь http://www.kakprosto.ru/kak-886870-chto-takoe-kompleksnye-chisla может это вам поможет. Удачи и успехов в новом учебном году!!!

Действительные числа составляют мизерную часть комплексных чисел. Геометрически комплексные числа есть множество точек на плоскости, действительные - множество точек на прямой (называется вещественная ось).
Применяют, например, при упрощенном решении дифференциальных уравнений.