Какое значение имела теория "Москва третий-Рим" для централизации Русского государства???

Вроде бы она по примеру византии и рима-великая империя, которая падёт

Если говорить о значении этой теории, то необходимо начать хотя бы с предыстории вопроса, который тесно связан с событиями в Московском княжестве конца XV века.
...Время правления великих князей Иоанна III и его сына Василия III характеризуется активным формированием новой идеологии московской великокняжеской власти. В конечном итоге процесс этот завершается созданием классической формулы «Москва — Третий Рим», принятием царского титула Иоанном Грозным, а позднее — возведением Русской Церкви на степень Патриаршества. Церковь играла ведущую роль в оформлении русской монархической идеи, которая явилась преемницей византийской теократии.
После отступничества греков от Православия (на Флорентийском Соборе) Москва впервые осознала себя единственной хранительницей Православия, что привело к утверждению автокефалии Русской Церкви. Тогда же великие князья Московские, окончательно освободившиеся вскоре от ордынской зависимости и одновременно ощутившие себя преемниками погибшей Византии, практически завершают объединение Северо-Восточной Руси вокруг Москвы. Создаётся крупное централизованное православное государство с сильной самодержавной властью.
Основой новой идеологии стала мысль о непосредственном преемстве власти Московских государей от последних Константинопольских императоров. Русские государи в полной мере ощущали себя наследниками византийских императоров как возглавителей всего православного мира. Новое династическое право Иоанна III и его потомков претендовать на Царьградское наследие укреплялось и в силу его внешнего признания. Так, правительство Венеции уже через год после заключения брака Иоанна и Софьи Палеолог писало ему о том, что отныне Московский государь является полноправным наследником Восточной империи. Иоанн III, окончательно и бесповоротно сбросив после стояния на Угре иго Орды, принимает титул "самодержца" по образцу византийского "автократора". Он также устанавливает в своей державе византийский герб: двуглавого орла, полагая, что через брак с Софией Палеолог получил на это полное право.
Итак, ВЫВОД: Теория "Москва - Третий Рим" — это прежде всего централизация государства и укрепление его независимости, а Москвы - как духовного центра православного мира, его сердцевины. Русь Московская стала таким центром реально после гибели Византии. А православная государственность, созданная на духовном основании Русской Церкви, явилась уже её следствием...
PS. Что касается слухов и домыслов. что, мол, есть такое пророчество, будто бы когда падёт "Третий Рим", тогда-де настанет и конец света, — это всё не так. Обратимся к "первоисточнику" окончательного варианта теории о том, что "Москва - Третий Рим", старцу Филовею, иноку Псковского Спасо-Елеазарова монастыря. Самым кратким образом теория старца Филофея была обобщена в словах: "Два Рима пали, третий стоит, а четвертому не бывати". И никакой апокалипсичности...