открывать ИП обязательно по месту прописки? Гр-во РФ

Только по месту постоянной регистрации.
Как можно зарегистрироваться.
Если нет усиленной электронной подписи, то онлайн на сайте налоговой или госуслуги. ру только можно заявление на регистрацию отправить, однократный визит в свою налоговую всё равно понадобится.
Варианты без визита в налоговую и без ЭЦП:
1. Документы на регистрацию отправить ценным письмом с описью вложения, подпись на заявлении и копии паспорта и ИНН в этом случае заверяет нотариус.
2. По доверенности нотариальной кто-то может сдать, все тоже заверяется нотариусом.
Очень подробно с бланком заявления и с описанием всех способов регистрации ИП здесь
http://ipipip.ru/index2.php

Я думаю что сейчас система контролирующая ИННы, едина.

А книгу учета дохода и расходов тоже доверенное лицо будет в налоговую подавать?

Нет, Вы не сможете зарегистрироваться по месту временной регистрации, но можете дать доверенность кому либо в своем субъекте и он все сделает за Вас.

В соответствии со ст. 8 Федерального закона от 08.08.2001 N 129-ФЗ «О государственной регистрации юридических лиц и индивидуальных предпринимателей» государственная регистрация индивидуального предпринимателя осуществляется по месту его жительства.

Согласно п. 1 ст. 83 НК РФ в целях проведения налогового контроля физические лица подлежат постановке на учет в налоговых органах: — по месту жительства физического лица; — по месту нахождения принадлежащего им недвижимого имущества и транспортных средств; — по иным основаниям, предусмотренным НК РФ. Единственная возможность для Вас это доказать, например установив через суд, факт жительства именно по этому адресу где вы сейчас находитесь. Но это долго, да и не 100% результат.