Сын приехал в гости из Казахстана, решил остаться на ПМЖ в России. Какие документы и куда подавать.

Долго и лениво писать.
Посетите сайт, который называется "Портал государственных услуг", там отыщите ответы на все свои вопросы
http://www.gosuslugi.ru/ru/
Удачи

Сходите в районное отделение по прописке, не написали о городе. В Москве, наример, где ОКРУГ, пример в ЗАО---значит, по району.

если он приехал в гости, то остаться на ПМЖ у него не получится
ведь он в Казахстане из квартиры не выписался, отказ от гражданства не оформил, справки не собрал

Обязательным условием является выписка на ПМЖ в Россию.
В Казахстане в первую очередь он должен пойти в Миграционную полицию по месту жительства. Там предоставят список необходимых документов.

После того, как он снова приедет в РФ, то должен встать на учёт по месту пребывания, сроком на 90 дней. В территориальное отделение миграционной службы по вопросам гражданства РФ подается пакет документов (но лучше список уточнить впоследствии) :

- заявление по форме,
- паспорт или иной документ, удостоверяющий личность и подтверждающий принадлежность лица к гражданству РК + его нотариально заверенный перевод;
- нотариально заверенные копии свидетельства о рождении и о браке;
- миграционная карта + её ксерокопия;
- отрывная часть бланка уведомления о прибытии иностранного гражданина в место пребывания + ксерокопия;
- подтверждение о выезде на постоянное жительство на территорию РФ с территории РК (отметка в паспорте или листок убытия к документу, удостоверяющему личность иностранного гражданина); .
- документ, подтверждающий наличие родственника - гражданина РФ + копия.

В течение 3-х месяцев он должен получить российское гражданство.

Обратитесь в УФМС, там все объснят