Можно ли получить регистрацию в Москве на 3 года?

Это называется регистрация по месту пребывания.

Ранее п. 10 Правил ограничивал срок, на который
граждане могут быть зарегистрированы по месту пребывания, шестью месяцами. Однако Постановлением
Конституционного Суда России от 2 февраля 1998 г.
№ 4-П данный пункт был признан не соответствующим
Конституции России. Конституционный Суд России
отметил, что установление срока, по истечении которого гражданин обязан покинуть место пребывания,
является вмешательством органов исполнительной власти и других органов регистрационного учета в гражданские, жилищные и иные правоотнощения. Срок нахождения в том или ином месте должен определяться
самим гражданином, его установление государством
недопустимо, поскольку означает ограничение свободы волеизъявления при выборе места пребывания.
В новой редакции п. 10 Правил устанавливает, что
регистрация граждан по месту пребывания в жилых
помещениях, не являющихся местом их жительства, осуществляется на срок, определенный по взаимному соглашению:
— с нанимателями и всеми совместно проживающими с ними совершеннолетними гражданами, при условии проживания в домах государственного или муниципального жилого фонда;
— с собственниками жилых помещений;
— с правлениями жилищно-строительных или жилищных кооперативов, если члены кооперативов не
являются собственниками данных жилых помещений.
При этом в п. 12 Правил уточняется, что регистрация несовершеннолетних детей по месту пребывания
родителей (усыновителей, опекунов) производится независимо от согласия лиц, указанных в п. 10.

За бабки нынче можно практически все.

Это называется-разрешение на временное проживание. Выдается по месту регистрации (временной) в отделении УФМС

Если временную, тогда да. А постоянная выдается на все время, пока сами не выпишитесь!