как определить что кошка больна?

у котенка должны быть, самое меньшее, чистые глазки, не слезящиеся, шерстка без перхоти, чистая, блестящая, и, пардон, попка чистая без признаков поноса... животик не раздутый... он должен быть игривый и жизнерадостный...
если там, где вы будете брать котенка, вам смогут дать на него вет. паспорт - очень хорошо... но в любом случае в первое же время надо показаться ветеринару...
ну, и наверное, идти забирать котенка надо обязательно с кем-то из взрослых на всякий случай (это на всякий случай - просто непонятно, сколько Вам лет....)

сонный вид, шерсть не лоснится, уши и нос белый

Животное должно быть активным, игривым. Глазки и нос должны быть чистые, никаких соплей быть не должно. Ну и внешне осмотрите котейку.

Если вы породистого хотите - посмотрите отзывы о питомнике. Плюс ко всему котёнка из питомника можно обследовать и если что-то не так, то нормальный заводчик вернёт деньги (это прописывают в договоре, обратите внимание). Котёнок из питомника приедет проглистогоненным и привитым.
Если беспородного - берите не на птичках всяких, а домашних котят с рук. Должны быть чистые ушки (без чёрного налёта), глазки (без подтёков), попа (без следов поноса). Не должно быть вздутого живота, шерсть котёнка не должна быть засаленной. Брать котёнка следует после 2х месяцев.

Котенок должен быть игривым, бодрым. Хорошо кушать, ходить в туалет. Признаком того, что с котенком что-то не так, являются гнойные глаза и насморк.

Хвост длинее 5 см, все время хочет есть, ходит на латок.

Она ничего не ест, ходит грустная, спит всё время...